《2022年04北航概率期末试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年04北航概率期末试卷（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京航空航天大学概率论与数理统计试卷2004-01 姓名 :班级:学号:得分:一判断题 （10 分，每题 2 分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(AP当且仅当A是不可能事件 ( ) 2连续型随机变量的密度函数)(xf与其分布函数)(xF相互唯一确定 ( ) 3若随机变量X与Y独立，且都服从1 .0p的 (0 ，1) 分布，则YX ( ) 4设X为离散型随机变量 , 且存在正数k使得0)(kXP，则X的数学期望)(XE未必存在 ( ) 5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二选择题 （15 分，每题 3 分）1.设每次试验成
2、功的概率为)10(pp，重复进行试验直到第n次才取得)1(nrr次成功的概率为. (a) rnrrnppC)1(11； (b) rnrrnppC)1(；(c) 1111)1 (rnrrnppC； (d) rnrpp)1(.2. 离散型随机变量X的分布函数为)(xF，则)(kxXP. () )(1kkxXxP； () )()(11kkxFxF；() )(11kkxXxP； () )()(1kkxFxF.3. 设随机变量X服从指数分布，则随机变量)2003,(maxXY的分布函数. () 是连续函数； () 恰好有一个间断点；() 是阶梯函数； () 至少有两个间断点 . 4. 设随机变量),(Y
3、X的方差,1)(,4)(YDXD相关系数,6 . 0XY则方差)23(YXD. ( ) 40 ； () 34 ； () 25.6 ； () 17.6 5. 设),(21nXXX为总体)2,1(2N的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是. ( ) )(/21ntnX； () )1,() 1(4112nFXnii；( ) )1,0(/21NnX； () )()1(41212nXnii. 二. 填空题 （28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为 0.05 . 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2.设连续随机变量的密度函数为)(xf，则随机变量
4、XeY3的概率密度函数为)(yfY3. 设X为总体)4,3( NX中抽取的样本 (4321,XXXX)的均值 , 则)51(XP. 4. 设二维随机变量),(YX的联合密度函数为他其,0; 10,1),(xxyyxf则条件密度函数为 , 当时 ,)(xyfXY5. 设)(mtX, 则随机变量2XY服从的分布为 ( 需写出自由度 ) 6. 设某种保险丝熔化时间),(2NX（单位：秒），取16n的样本，得样本均值和方差分别为36. 0,152SX，则的置信度为 95% 的单侧置信区间上限为7. 设X的分布律为X 1 2 3 P2)1 (22)1 (已知一个样本值)1,2,1(),(321xxx，则
5、参数的极大似然估计值为三. 计算题 （40 分，每题 8 分）1. 已知一批产品中 96 %是合格品 . 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为)(,的指数分布，试求YXZ23的密度函数)(zfZ. 3某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1的泊松分布 . 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（ 52 周）售出该商品件数在50件到 70 件之间的概率 . 4. 总体),(2NX，),(21nXXX
6、为总体X的一个样本 . 求常数 k , 使niiXXk1为的无偏估计量 . 5 （1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(2NX（单位： kg）. 已知8 kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均值2.575x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048. 0,(2N. 某日抽取5 个样品，测得其纤度为 : 1.31， 1.55 ， 1.34 ， 1.40 ， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10作假设检验 . 四. 证明题 （7 分
7、）设随机变量ZYX,相互独立且服从同一贝努利分布),1(pB.试证明随机变量YX与Z相互独立 .附表： 标准正态分布数值表2分布数值表 t分布数值表6103.0)28.0(488.9)4(205. 01315.2)15(025.0t975.0)96.1(711. 0)4(295. 07531. 1)15(05. 0t9772.0)0 .2(071.11)5(205.01199.2)16(025. 0t9938.0)5 .2(145. 1)5(295. 07459. 1)16(05. 0t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10 分，每题 2 分）是非非非是 . 二. 选择题（1
8、5 分，每题 3 分）（） （） （） （）（） . 三.填空题（28 分，每题4 分）1. 1/22 ；2. 000)3/ln()(1yyyfyfyY；3.0.9772 ；4. 当10 x时他其0)2/(1)(xyxxxyfXY；5. ),1(mF6. 上限为15.263 . 7. 5 / 6 .四. 计算题（40 分，每题 8 分）1. A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件. (2 分) 9428.005.004.098.096.0)()()()()(BAPBPBAPBPAP， (4 分) .998.09428.0/9408. 0)(/ )()()(APBAPBPABP(
9、2 分) 2.其他00)(xexfxX其他00)(yeyfyY(1 分) 0z时，0)(zFZ，从而0)(zfZ；(1 分) 0z时，dxxzfxfzfYXZ 2/)3()()(21(2 分) )(232/3/3/02/)(21zzzxzxeedxe(2 分) 所以0,00),(23)(2/3/zzeezfzzZ 0,00),(32)(3/2/zzeezfzzZ (2 分 ) 3. 设iX为第 i 周的销售量 , 52,2,1iiX)1( P(1 分 ) 则一年的销售量为521iiXY，52)(YE, 52)(YD. (2 分) 由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185
10、252522)7050(YPYP(4 分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(. (1 分) 4. 注意到niiXXnXXnXX)1(121)2(1)(,0)(2分nnXXDXXEii)1(1, 02分nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|)(|dzennznnz221201212)3(122分nnniiniiXXEkXXkE11|nnkn122令5. (1) 要检验的假设为570:,570:10HH(1 分) 检验用的统计量)1,0(/0NnXU，拒绝域为96.1)1(025.02znzU. (2 分) 96.106.21065.010/8570
11、2 .5750U，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即不能认为平均折断力为570 kg . 96.1632.0102.010/92.5695710U, 落在拒绝域外，故接受原假设0H，即可以认为平均折断力为571 kg . (1 分) (2) 要检验的假设为2212200 4 8.0:,0 4 8.0:HH(1 分 ) 22122079.0:,79.0:HH 检验用的统计量) 1()(2202512nXXii，拒绝域为488.9)4() 1(205.022n或711.0)4()1(295. 02122n(2 分) 41.1x49.1x 488.9739.150023. 0/0362.020, 落
12、在拒绝域内，711.0086. 06241.0/0538. 020,落在拒绝域内， 故拒绝原假设0H，即认为该天的纤度的总体方差不正常. (1 分) 五、证明题(7 分) 由题设知X0 1 YX0 1 2 PpqP2qpq22p(2 分) )0()0()0,0(3ZPYXPqZYXP；）分（2)1(2nnk)1()0() 1,0(2ZPYXPpqZYXP；)0()1(2)0,1(2ZPYXPpqZYXP；) 1() 1(2)1,1(2ZPYXPpqZYXP；)0()2()0,2(2ZPYXPpqZYXP；) 1()2() 1,2(3ZPYXPpZYXP. 所以YX与Z相互独立 . (5 分)
