《2022年中山大学信息光学习题课后答案--习题234章作业》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中山大学信息光学习题课后答案--习题234章作业（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题 2 2.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。(1) ( )rect(2 )nfxxn(2) ( )tri(2 )ng xxn2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1) rect()rect()sinc( )sinc( )Fxy; (2) 22( ) ( )sinc ( )sinc ( )Fxy; (3) 1 ( , )F; (4) 11sgn()sgn()iiFxy; (5) (sin)F nnx; (6) 222 ()/exyaF。2.3 求x和(2 )xfx的傅里叶变换。2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。( )tri(1)tri(1)H( )re
2、ct(/ 3)rect()G2.5 证明下列傅里叶变换定理：(1) 在所在( , )f x y连续的点上11( , )( , )(,)FFf x yFFf x yfxy；(2) ( , ) ( , )( , )*( ( , )Ff x y h x yFf x yF g x y。2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1) 若0( )()rfrrr，则000( )2J (2)rB frrr; (2) 若1ar时( )1rfr，而在其他地方为零，则11J (2 )J (2)( )raaB fr; (3) 若( )( )rB frF，则21( )rB fraa; (4) 22eerB2.7 设(
3、 ,)g r在极坐标中可分离变量。证明若i( , )( )emrf rfr，则：i( , )( i) eH ( )mmmrFf rfr其中H m为m阶汉克尔变换：0( )2( )J (2 )dmrrmHfrrfrrr。而( , )空间频率中的极坐标。 (提示：i sinieJ ( )eaxkxkka) 2.8 计算下列各式的一维卷积。(1) 1rect*(23)2xx(2) 3rect*(4)*(1)2xxx(3) 1rect*comb()2xx(4) sinrect( )2xx2.9 试用卷积定理计算下列各式。(1) sinc( )*sinc()xx(2) sinc()sinc(2 )Fxx
4、2.10 用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布0( )2cos(2)f xx扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。2.12 计算下面函数的相关。(1) 1rect2x1rect2x(2) tri 21xtri 21x2.13 应用傅里叶定理求下面积分。(1) 2ecos(2 )dxaxx(2) 2sinc ( )sin()dxxx2.14 求函数( )rect( )f xx和( )tri( )f xx的一阶和二阶导数。2.15 试求下图所示函数的一维自相关。2.16 试计算函数( )rect(
5、3)f xx的一阶矩。2.17 证明实函数( , )f x y的自相关是实的偶函数，即：( , )(,)ffffRx yRxy。2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。(1) step( )x(2) sgn( )x(3) 0sin(2) x2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1) ( )tri(1)tri(1)H xxx(2) ( )rect(/ 3)rect( )G xxx2.20 表达式( ,)( ,)*combcombxyp x yg x yXY定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为X，它在y方向上的周期为Y。(a) 证明p的傅里叶变换可以写为：( , )
6、,nmnmnmPGXYXY其中G是g的傅里叶变换。(b) 当( , )rect 2rect 2xyg x yXY时，画出函数( , )p x y的图形，并求出对应的傅里叶变换( , )P。习题 3 3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：( , )cos2 ()g x yxy，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2 证明零阶贝塞尔函数002J (2)r是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a
7、) 这个系统是线性的吗？(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布o( , )Ux y，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布i( , )Ux y。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间|xB，|yB之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体o( , )Ux y，它与真实物体oU产生完全一样的像iU，并且等产供效物体的场分布可写成：o0( , )( , )sinc(2)sinc(2)d d,22XYnmXYnmUx yUnBmBxyBB
8、3.5 定义：1( , )d d(0,0)xyf x yx yf, 1( ,)d d(0,0)FF分别为原函数( ,)f x y及其频谱函数( , )F的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：1xy上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。3.6 已知线性不变系统的输入为：( )comb( )f xx。系统的传递函数为rect(/ )b。当1b和3b时，求系统的输出( )g x，并画出函数及其频谱。3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为：( )7sinc(7 )h xx用频率域方法对下列的每一个输入( )ifx，求其输出( )ig x(必要时，可取
9、合理近似)：(1) 1( )cos4fxx(2) 2( )cos(4)rect( /75)fxxx(3) 3( )1cos(8)rect(/75)fxxx(4) 4( )comb( )*rect(2)fxxx3.8 给定正实常数0和实常数a和b，求证：(1) 若01|2b，则001sinc( / )*cos(2 )cos(2)|x bxxb(2) 若01|2b，则01sinc( / )*cos(2 )0|x bxb(3) 若| | |ba，则sinc( / )*sinc(/ )|sinc( / )x bx abx a(4) 若|2ab，则22sinc( / )*sinc ( /) |sinc
10、( / )x bx abx a3.9 若限带函数( )f x的傅里叶变换在带宽w之外恒为零， (1) 如果1|aw，证明：1sinc( / )*( )( )|x af xf xa(2) 如果1|aw，上面的等式还成立吗？3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波：1( )comb(/3)rect(/100) *rect()3g xxxx若系统脉冲响应：( )rect(1)h xx。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波1( )comb(/ 2)rect(/50) * tri()2g xxxx对下列传递函数利用
11、图解方法确定系统的输出：(1) ( )rect(/ 2)H(2) ( )rect(/4)rect(/ 2)H3.12 若对函数：2( )sinc ()h xaax抽样，求允许的最大抽样间隔。3.13 证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：22122J 2(/ 2 )(/ 2 ) ( , ),22242(/ 2 )(/ 2 )nmBxnBymBnmg x ygBBBxnBymB习 题 4 4.1 尺寸为ab的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求
12、菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 220000(,)circ()t xyxy(2) 2200001,1(,)0,axyt xy其它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：00()cos(2/)t xabxd式中，d为光栅的周期，0ab。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。(1) 22rdzz(2) 22rzdz(3) 242rzdz4.4 参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径。P点位于孔径后面距离为z的观察平面上，坐标为(0, )b。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径
13、的夫琅禾费衍射图样。4.5 方向余弦为cos,cos，振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为a的圆孔。观察平面位于夫琅禾费区，也孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。4.6 环形孔径的外径为2a，内径为2 aEMBED Equation.DSMT4 (01)。其透射率可以表示为：001,()0,arat r其他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为dEMBED Equation.DSMT4 ()da。采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样
14、的强度分布并画出沿y方向截面图。4.8 参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在( , )点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出0 xy时，孔径频谱在x方向上的截面图。4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定4ba及1.5da，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：00()step()t xx采用单位振幅的单
15、色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿x方向的振幅分布曲线。4.11 下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x方向的截面图。4.12 线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，分别确定a和d之间的关系：(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：000000(,)comb(/)comb(/ )com
16、b(0.1 ) / )comb(/ )t xyxaybxaayb采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。画出沿x方向的截面图。4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为，光栅的整体孔径为边长为L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，角应如何选择？4.15 衍射零是由m n个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a，其中心在0 x方向间距为xd，在0y方向间距为yd，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.16 在透明玻璃板上有大量 (N)无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
