1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2．掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理 椭圆的简单几何性质阅读教材P38～P40例1以上部分，完成下列问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e＝2.离心率性质离心率e的范围是(0,1).e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )(2)椭圆＋＝1与＋＝1有相同的离心率．( )(3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( )(4)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]椭圆的简单几何性质 (1)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A．(±13,0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±)(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为( )A. B.C. D.【自主解答】 (1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a＝2b，则c＝＝＝b，所以离心率为e＝＝＝.【答案】 (1)D (2)B已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是2a，短轴长是2b.[再练一题]1．(1)椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是( ) 【导学号：25650047】A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0, )【解析】 椭圆的标准方程为x2＋＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±)．【答案】 D(2)已知椭圆＋＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点．【解】 ∵(0,5)是椭圆＋＝1的顶点，∴m＝25.∴椭圆方程为＋＝1，∴a2＝25，b2＝9.∴c2＝a2－b2＝16.∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e＝＝，其余顶点为(－3,0)，(3,0)，(0，－5)．利用椭圆几何性质求其标准方程 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，a＝4，e＝；(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝；(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(4)离心率为，经过点(2,0)．【精彩点拨】 本题考查椭圆方程的求法．根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论．【自主解答】 (1)由a＝4，e＝＝知，c＝2，b2＝16－4＝12.又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由c＝6，e＝知，a＝9，b2＝81－36＝45.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(3)由题意知，a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(4)由e＝＝，设a＝2k，c＝k，k>0，则b＝k.又椭圆经过点(2,0)，当它为短轴顶点时，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1.当点(2,0)为长轴顶点时，a＝2k＝2，即k＝1.所以椭圆标准方程为＋y2＝1.利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意(1)讨论：若题目中没有明确焦点的位置，要根据题中条件适当分类，设出对应方程；(2)减参：设椭圆方程时，根据题中所给条件建立关于a，b的关系式，尽量减少待确定的参数个数．[再练一题]2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【导学号：25650048】【解】 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.[探究共研型]椭圆的离心率探究1 椭圆的离心率是怎样定义的？如何用a，b表示离心率？【提示】 (1)把椭圆的焦距与长轴长的比e＝称为椭圆的离心率．(2)由e＝得e2＝＝，∴e＝.∴e＝.探究2 下列两个椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？4x2＋9y2＝36与＋＝1.【提示】 将椭圆方程4x2＋9y2＝36化为标准方程＋＝1，则a2＝9，b2＝4，所以a＝3，c＝＝，故离心率e＝；椭圆＋＝1中，a2＝25，b2＝20，则a＝5，c＝＝，故离心率e＝.由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆． (1)如图212所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率；图212(2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，满足·＝0.求离心率e的取值范围．【精彩点拨】 根据题意，找出关于a、b、c的方程或不等式，结合a2＝b2＋c2求解．【自主解答】 (1)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.(2)设点M的坐标为(x，y)，则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．由·＝0，得x2－c2＋y2＝0，即y2＝c2－x2.①又由点M在椭圆上得y2＝b2，②把②代入①得b2＝c2－x2，所以x2＝a2，∵0≤x2≤a2，∴0≤a2≤a2，即0≤2－≤1,0≤2－≤1，解得≤e≤1，又∵0＜e＜1，∴≤e≤1.求椭圆离心率或其范围的常用方法1．定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝直接求解．2．转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．[再练一题]3．如图213所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率. 【导学号：25650049】图213【解】 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如题图所示，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，∴P.又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.∴＝，∴＝，∴b＝2c.∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴＝.∴e2＝，即e＝，所以椭圆的离心率为.[构建·体系]1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )A. B. C. D.【解析】 椭圆方程可化为x2＋＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝，∴e2＝＝，∴e＝.【答案】 A2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.－2【解析】 因为A，B为左右顶点，F1，F2为左右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，所以(a＋c)(a－c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.【答案】 B3．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________．【解析】 由＋＝1可知b＝2，∴短轴长2b＝4.【答案】 44．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 【导学号：25650050】【解析】 设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b，所以(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)，所以3a2－5c2＝2ac，同除a2，整理得5e2＋2e－3＝0，所以e＝或e＝－1(舍去)．【答案】 5．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.【解】 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10。