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1、5.5 用二次函数解决问题问题第五章二次函数苏苏科版 数学 九年级级下册学习习目标标1.用二次函数解实际问题实际问题 .2.建立恰当的直角坐标标系解答抛物线线型问题问题 .学习习目标标感悟新知新知一 用二次函数解实际问题实际问题1. 常用方法利用二次函数解决实际问题实际问题 ，首先要建立数学模型，把实际问题转实际问题转 化为为二次函数问题问题 ，利用题题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图图像和性质质去解决问题问题 .合作探究感悟新知2. 一般步骤骤(1)审审：仔细审题细审题 ，理清题题意；(2)找：找出问题问题 中的变变量和常量，分析它们们之间间的关系，与图图形相关的问题问题
2、要结结合图图形具体分析；(3)列：用二次函数表示出变变量和常量之间间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转实际问题转 化成数学问题问题 ，根据题题中的数量关系列出二次函数的表达式；感悟新知(4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图图像和性质质等求解实际问题实际问题 ；(5)检检：检验结检验结 果，得出符合实际实际 意义义的结论结论 .感悟新知要点解读读：用二次函数解实际问题时实际问题时 ，审题审题 是关键键，检验检验容易被忽略，求得的结结果除了要满满足题题中的数量关系，还还要符合实际问题实际问题 的意义义.在实际问题实际问题 中求最值时值时 ，解题题思路是列二次函数表达式，用配方法把函数
3、表达式化为为y=a(xh)2+k的形式求函数的最值值，或者针对针对 函数表达式用顶顶点坐标标公式求函数的最值值.感悟新知例 1中考扬扬州“扬扬州漆器”名扬扬天下，某网店专门专门销销售某种品牌的漆器笔筒，成本为为30 元/ 件，每天的销销售量y(件)与销销售单单价x(元)之间间存在一次函数关系，如图图5.5-1 所示.感悟新知(1)求y与x之间间的函数关系式；解题题秘方：可用待定系数法来确定y与x之间间的函数关系式；解：设设y 与x 之间间的函数关系式为为y=kx+b.由题题意得 解得故y与x之间间的函数关系式为为y=10 x+700.感悟新知(2)如果规规定每天漆器笔筒的销销售量不低于240
4、件，当销销售单单价为为多少元时时，每天获获取的利润润最大，最大利润润是多少？解题题秘方：设设每天的利润为润为 w元，根据利润润= 销销售量 单单件的利润润列式，然后将(1)中的函数关系式代入，求出利润润和销销售单单价之间间的关系式，最后根据其性质质来判断出最大利润润；感悟新知解：由题题意，得10 x+700 240，解得x 46.设设每天的利润为润为 w元，则则w=(x30)y=(x30)(10 x+700)=10 x2+1000 x21 000=10(x50)2+4 000. 10 0，当x 50 时时，w随x的增大而增大，当x=46 时时，w最大=10(4650)2+4 000=3 840
5、.答：当销销售单单价为为46 元时时，每天获获取的利润润最大，最大利润润是3 840 元.感悟新知(3)该该网店店主热热心公益事业业，决定从每天的销销售利润润中捐出150 元给给希望工程，为为了保证证捐款后每天剩余利润润不低于3 600 元，试试确定该该漆器笔筒销销售单单价的范围围.解题题秘方：由(2)知w与x的函数关系式，进进而利用捐款后每天剩余利润润等于3 600 元，求出对应对应x的值值，根据增减性，求出x的取值值范围围.感悟新知解：令w150=3600，则则w=3750， 10 x2+1 000 x21 000=3 750，即10(x50)2=250，解得x1=55，x2=45，感悟新
6、知如图图5.5-2 所示，由图图像得，当45 x 55 时时，捐款后每天剩余利润润不低于3 600 元.感悟新知方法点拨拨：根据函数图图像求实际问题实际问题 中最大(小)值值的一般策略：理解实际问题实际问题 的题题意与数量关系，从图图像中获获取各个变变量的信息，求出函数表达式；讨论讨论 最大(小)值时值时 可借助顶顶点式ya(x+h)2+k，然后利用二次函数的性质质确定最大(小)值值；在求函数的最大(小)值时值时 ，要注意实际问题实际问题 中自变变量的取值值范围围，有时时根据顶顶点坐标标求出的最大(小)值值并不一定是函数在实际问题实际问题 中的最大(小)值值，实际问题实际问题的最大(小)值应值
7、应 根据实际问题实际问题 与图图像，在自变变量的取值值范围围内取得.感悟新知例2中考连云港 如图5.5-3，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C=120若新建墙BC与CD总长为12 m，求该梯形储料场ABCD的最大面积.感悟新知解题题秘方：紧紧扣求图图形面积积的方法建立二次函数关系，利用二次函数的性质质解决问题问题 .感悟新知解：设设CD=x m，梯形储储料场场ABCD 的面积为积为 S m2，则则BC=(12x)m.如图图5.5-4，过过点C 作CEAB 于E，则则CEA= CEB=90，四边边形ADCE 为为矩形， CD=AE=x m， DCE=90，BCE= BCD DCE
8、=30感悟新知在Rt CBE 中， CEB=90，BE= BC= m， CE= BE= m，AB=AE+BE=x+6 x= m， S= (CD+AB)CE=当x=4 时时，S 最大= 故当CD 长为长为 4 m 时时，该该梯形储储料场场ABCD 的面积积最大，为为 m2感悟新知方法点拨拨：几何图图形中求最值值，常用的建立函数关系的方法：几何图图形中的最值问题值问题 ，一般都是利用二次函数的最值值求解，根据几何图图形建立二次函数关系是解题题的关键键.一般在几何图图形中建立函数关系有如下常用方法：面积积法：利用几何图图形面积积公式建立函数关系.勾股法：利用勾股定理建立函数关系.和差法：利用图图形面
9、积积的和或差表示图图形的面积积，从而建立函数关系.感悟新知新知二 用二次函数解实际问题实际问题生活中常见见的拱桥桥洞、涵洞、隧道、运动轨动轨 迹等都呈抛物线线形状，解决这这些问题问题 往往构建二次函数模型，借助于二次函数的性质进质进 行计计算.感悟新知1. 解决抛物线线型问题问题 的一般步骤骤(1)根据题题目给给出的数据建立恰当的直角坐标标系；(2)根据建立的坐标标系，结结合条件确定图图像上点的坐标标；(3)根据点的坐标标特点设设出函数表达式，再运用待定系数法确定函数表达式；(4)根据二次函数的性质质解决问题问题 .感悟新知2. 在解答这类问题时这类问题时 ，建立恰当的坐标标系非常重要，基本原
10、则则是尽量选选取抛物线线的顶顶点为为原点，尽量选选取抛物线线的对对称轴为轴为 y 轴轴.感悟新知特别别解读读：一般地，通过过建立坐标标系，得到抛物线线yax2bx c，或y (a 0)，确定顶顶点坐标为标为 当x= 时时，抛物线线有最高(低)点，函数有最大(小)值为值为感悟新知例 3月考淮安 一场篮场篮 球赛赛中，小明跳起投篮篮，已知球出手时时离地面 米，与篮篮圈中心的水平距离为为8 米，当球出手后运行的水平距离为为4 米时时达到最大高度4 米，设篮设篮 球运行的轨轨迹为为抛物线线，篮篮圈中心距离地面3 米感悟新知(1)在如图图所示的平面直角坐标标系中，求抛物线线的表达式；感悟新知解题题秘方：
11、结结合图图像，利用待定系数法与二次函数的性质质解决实际问题实际问题 感悟新知解：由题题意，可知抛物线线的顶顶点坐标为标为 (4，4)，球出手位置的坐标为标为 .设设抛物线线的表达式为为y a(x4)2+4将点 的坐标标代入表达式，得16a+4 ，解得a 抛物线线的表达式为为y (x4)2+4.感悟新知(2)小明的这这次投篮篮未能命中篮篮圈中心，请说请说 明理由；解题题秘方：结结合图图像，利用待定系数法与二次函数的性质质解决实际问题实际问题 感悟新知解：球出手时时与篮篮圈中心的水平距离为为8 米，篮篮圈中心距离地面3 米当x 8 时时，y (x4)2+4 (x4)2+4= (84)2+4 3感悟
12、新知(3)假设设球出手的角度和力度都不变变，小明应该应该 向前走或向后退多少米才能命中篮篮圈中心？解题题秘方：结结合图图像，利用待定系数法与二次函数的性质质解决实际问题实际问题 感悟新知解：球出手的角度和力度都不变变，设设小明向前走或向后退能命中篮篮圈中心时时，抛物线线的表达式为为y (x 4+m)2+4将点(8，3)的坐标标代入得3 (8 4+m)2+4，整理，得(4+m)2 9解得m1 1，m2 7向前走7 米不合题题意，舍去小明应该应该 向前走1 米才能命中篮篮圈中心感悟新知思路点拨拨：当“球出手的角度和力度都不变变”时时，抛物线线的形状不变变，小明向前走或向后退时时，相当于抛物线线左右
13、平移，故可设设抛物线线的表达式为为y (x4+m)2+4，将点(8，3)的坐标标代入求得m的值值，根据m值值的正负负与抛物线线平移左加右减的特点，判断抛物线线平移的方向，即可得出答案感悟新知例4期末南京 如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线的表达式为y= x2+4感悟新知(1)一辆货运车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？解题题秘方：紧紧扣二次函数的图图像与性质质，把车车的宽转宽转 化为为点的横坐标标，代入抛物线线的表达式求函数值值，然后与货货运车车的高进进行比较较感悟新知解：当货货运车车从该该隧道中间间通过时过时 ，车宽车宽 2 m， x 1，则则
14、y= 12+4=3.75. 3.75+2 5.75 4货货运车车能通过该过该 隧道感悟新知(2)如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4 m，那么这辆货运车是否可以通过？解题题秘方：紧紧扣二次函数的图图像与性质质，把车车的宽转宽转化为为点的横坐标标，代入抛物线线的表达式求函数值值，然后与货货运车车的高进进行比较较感悟新知解：当该该隧道内设设双行道时时，车宽车宽 2 m，中间间遇车间车间 隙为为0.4 m， x 2.2，则则y= 2.22+4=2.79. 2.79+2 4.79 4，这辆货这辆货 运车车可以通过该过该 隧道感悟新知方法技巧：解决车过车过 隧道(桥桥等)问题问题 的一般策略：固定
15、车车的宽宽，得到抛物线线上点的横坐标标，然后代入抛物线线表达式，求出点的纵纵坐标标，与限制的高(车车的高)比较较得出结论结论 ；固定车车的高，得到抛物线线上点的纵纵坐标标，然后代入抛物线线表达式，求出点的横坐标标，与限制的宽宽(车车的宽宽)比较较得出结论结论 感悟新知解法提醒：根据抛物线线的对对称性与宽为宽为 2m，得x 1，代入抛物线线的表达式求出y的值值，再进进行比较较即可；根据抛物线线的对对称性、宽为宽为 2m与遇车间车间 隙为为0.4m，得x2.2，代入抛物线线的表达式求出y的值值，再进进行比较较即可课课堂小结结用二次函数解决问题问题图形面积问题实际问题分类数学模型利润问题增减性最值值转化二次函数抛物线型问题归纳归纳 新知再再 见见
