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1、2022年湖南省湘潭市大学子弟学校高一数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos BbcosA，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形参考答案：B2. 若条件4,条件，则 是 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A3. 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于40的概率是A. B. C. D. ( )参考答案：A略4. 已知，那么
2、下列不等式中一定成立的是A. B. C. D. 参考答案：D【分析】根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可【详解】若，则，则，故A不成立；不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；，,故C不成立，则，成立，故D正确，故选：D【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础5. 已知，且，则（ ）A. B. C. 或 D. 或参考答案：C6. 已知点M（a，b）在直线3x+4y20=0上，则的最小值为（）A3B4C5D6参考答案：B【考点】二次函数的性质；点到直线的距离公式【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y20=
3、0的距离即可【解答】解：点M（a，b）在直线3x+4y20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d=4，则的最小值为：4故选：B7. 若函数对任意实数x，总有，则函数的图像以直线为一条对称轴。用这个结论解题：定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)仅有101个不同的零点，那么所有零点的和为（ ）A150 B C152 D参考答案：B8. 若、的终边关于y轴对称，则下列等式正确的是（ ）A.sin=sin B.cos=cos C.tan=tan D.tantan=1参考答案：A9. 下面是关于的四个命题：图像关于原点对称，
4、：图像关于y轴对称，：在上有6个零点， ：在上有7个零点，其中的正确的为（ ）A， B， C， D，参考答案：C略10. 已知全集U=0，1，2且?UA=2，则集合A的真子集共有( )A3个B4个C5个D6个参考答案：A考点：子集与真子集 专题：计算题分析：根据题意，易得A=1，0，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案解答：解：根据题意，全集U=1，2，0，且CUA=2，则A=1，0，A的子集有22=4个，其中真子集有41=3个；故选A点评：本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若A中有n个元素，则A有2n个子集二、
5、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 求值：=-_参考答案：12. 如图，二面角等于120，A、B是棱上两点，AC、BD分别在半平面、内，且，则CD的长等于_参考答案：2【分析】由已知中二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长【详解】A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，又二面角l的平面角等于120，且ABACBD1，60，故答案为：2【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键13. 已知函
6、数满足：当时，当时，则 。参考答案：14. 函数f（x）=的定义域是 参考答案：（，2）【考点】函数的定义域及其求法 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，然后求解对数不等式得答案【解答】解：由lg（3x）0，得3x1，即x2函数f（x）=的定义域是（，2）故答案为：（，2）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题15. 某种产品的广告费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量和具有线性相关关系。（百万元）24568（百万元）3040605070则回归直线方程为 参考答案：y=
7、6.5x+17.5略16. 已知a0，b0，则2a+b的最小值为 参考答案：817. 在ABC中，cosA=，sinB=，则cosC=参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式、诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题【解答】解：ABC中，cosA=，A为钝角，故sinA=；sinB=，cosB=，则cosC=cos（A+B）=（cosAcosBsinAsinB）=（?）=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式、诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题三、 解答题：本
8、大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分13，第1问6分，第2问7分）在中，分别是角的对边，向量，且.（）求角的大小；（）设，且的最小正周期为，求在区间上的最大值和最小值. 参考答案：（）由，得， 2分由正弦定理，得 4分 6分（）由题知，由已知得， 9分当时， 10分所以，当时，的最大值为；当时，的最大值为 13分19. ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，D为线段BC上一点，满足b+c=bC，a2b2=bc，ACD与ABD面积之比为1：2（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积参考答案：【考点】HR：余弦定理【分析】（1）由已知及正弦
9、及余弦定理得：，整理得A=2B，由，可得AD为角A的平分线，且SACD：SABD=1：2，解得，利用正弦定理可求cosB的值，即可解得A的值（2）由及可解得AD的值，由，即可利用三角形面积公式求值【解答】（本题满分为12分）解：（1）由a2b2=bc得，由正弦及余弦定理得：，?2sinAcosB=sinB+sin（A+B），整理得sin（AB）=sinB，即A=2B，由得，即AD为角A的平分线，且SACD：SABD=1：2，所以，所以，即 （2）由及得：所以， 20. 设是R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性并证明；（3）若方程f（x22xa）=0在（0，3）上恒有
10、解，求实数a的取值范围参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）由f（x）在R上为奇函数便可得到f（0）=0，从而可以求出a=1；（2）分离常数得到，可看出f（x）在R上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x1，x2R，且x1x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x1）f（x2）便可得出f（x）在R上单调递增；（3）可设g（x）=x22xa，可看出g（x）的对称轴为x=1，从而有g（1）g（x）g（0），或g（1）g（x）g（3），这样根据f（x）在R上单调递增便有fg（1）fg（x）fg（0），或fg
11、（1）fg（x）fg（3），而要使方程f（x22xa）=0在（0，3）上恒有解，则需，这样即可求出实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）为R上的奇函数；f（0）=；a=1；（2）=，f（x）在R上单调递增，证明如下：设x1，x2R，且x1x2，则：=；x1x2；，；又；f（x1）f（x2）；f（x）在R上单调递增；（3）设g（x）=x22xa，g（x）的对称轴为x=1，则：g（1）g（x）g（0），或g（1）g（x）g（3）；f（x）在R上单调递增；fg（1）fg（x）fg（0），或fg（1）fg（x）fg（3）；方程f（x22xa）=0在（0，3）上恒有解；解得1a3；实数a的取值范围为
12、1，3）【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，在原点处的函数值为0，分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，二次函数的对称轴，二次函数的最值，清楚方程的解和函数的零点的关系，要熟悉二次函数的图象21. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点（1）证明：平面EFG平面BCD；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的大小参考答案：（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】(1)分别证明平面，平面得到两平面平行.(2)将转化为，通过体积公式得到答案.(3)首先判断是二面角的平面角，在中，利用边角关系得到答案.【详解】（1）证明：因为分别为的中点，又有平面，平面，所以平面同理：平面平面，平面，所以平面平面（2）解：因为，所以因为平面平面，平面平面，平面所以平面，为中点，所以所以三棱锥的体积为（3）因为，为中点，所以，同理，平面，平面所以是二面角的平面角平面平面，平面平面，平面，则平面平面，所以在直角三角形中，则，所以二面角的大小为【点睛】本题考查了面面平行的判定定理,考查了三棱锥体积的求法,考查了二面角平面角的求法.考查了学生数学抽象、数逻辑推理的能力
