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1、天津第六十一中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )A. B. C. D. 参考答案:D2. 已知C与F是线段AB上的两点,AB12,AC6,D是以A为圆心,AC为半径的圆上的任意点,线段FD的中垂线与直线AD交于点P。若P点的轨迹是双曲线,则此双曲线的离心率的取值范围是 参考答案:3. 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是
2、8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是 (是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕( )A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤参考答案:B【分析】销售的利润为,利用可得,再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为,由题意,得, 即,当时,解得,故,当时,当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以时,利润最大,故选B.【点睛】一般地,若在区间上可导,且,则在上为单调增(减)函数;反之,若在区间上可导且为单调增(减)函数,则4. 曲线 +2在点处的切线方程为(
3、)A. B. C. D. 参考答案:D略5. 已知函数,若曲线在点处的切线方程为,则实数a的取值为( )A. 2B. 1C. 1D. 2参考答案:B【分析】求出函数的导数,利用切线方程通过f(0),求解即可;【详解】f (x)的定义域为(1,+),因为f(x)a,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y2x,可得1a2,解得a1,故选:B【点睛】本题考查函数的导数的几何意义,切线方程的求法,考查计算能力6. 已知椭圆C1:(ab0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A(0,)B(0,)C,1
4、)D,1)参考答案:A【考点】椭圆的简单性质【分析】作出简图,则,则e=【解答】解:由题意,如图若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,由APO45,即sinAPOsin45,即,则e=,故选A【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用,属于基础题7. 在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值( )A B C D参考答案:D略8. 设是关于t的方程的两个不等实根,则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为( ) A0 B1 C2 D .3 参考答案:A9. 若动点与定点和直线的距离相等,
5、则动点的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线参考答案:D10. 在ABC中,a=+1, b=1, c=,则ABC中最大角的度数为( ) A. 600 B.900 C.1200 D.1500参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等差数列中,已知,则m为参考答案:5012. 如图是一个三角形数阵,满足第n行首尾两数均为n,表示第行第个数,则的值为 参考答案:4951设第n行的第2个数为an,由图可知,a2=2=1+1,a3=4=1+2+1,a4=7=1+2+3+1,a5=11=1+2+3+4+1归纳可得an=1+2+3+4+(n-1)+1= +1
6、,故第100行第2个数为:,故答案为495113. 函数的最小正周期为_ 参考答案:14. .曲线在点(0,1)处的切线方程为 .参考答案:试题分析:,切线斜率为,切线方程为,即.故答案为.考点:利用导数求切线方程.15. 已知实数满足约束条件,则的最小值为 .参考答案:316. 在ABC中,已知的值为 ( )A2 B2 C4 D2参考答案:D17. 如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是ABC为直角的等腰直角三角形,AC2a,BB13a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF_时,CF平面B1DF. 参考答案:a或2a略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字
7、说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分14分)如图6,长方体中,点为的中点。(1)求证:直线平面;(2)求证:平面平面;(3)求证:直线平面。参考答案:证明:(1)设AC和BD交于点O,连PO,(1分)由P,O分别是,BD的中点,故PO/,(2分)所以平面 (4分,缺一个条件扣1分)(2)长方体中,底面ABCD是正方形,则ACBD (5分)又面ABCD,则AC, (6分),AC面,(8分)AC平面PAC,平面平面 (10分,条件缺漏扣1分)(3)连结CB1, PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以PC2+PB12=B1C2,PC,(12分)同理PA,又PAPC=P, 所以直线平面。
8、 (14分)19. (本小题满分12分)某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:在喜欢玩电脑游戏的12中,有10人认为作业多,2人认为作业不多;在不喜欢玩电脑游戏的10人中,有3人认为作业多,7人认为作业不多.(1)根据以上数据建立一个列联表;(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系?(可能用到的公式:,可能用到数据:P(x23.841)=0.05参考答案:解:(1)根据题中所给数据,得到如下列联表:认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏10212不喜欢玩电脑游戏3710总计13922(2),而3.8416.4186.635有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业
9、多少有关.20. (本小题满分12分)在数列中,且.() 求,猜想的表达式,并加以证明;() 设,求证:对任意的自然数,都有;参考答案:解:(1)容易求得:,-(2分)故可以猜想,下面利用数学归纳法加以证明:显然当时,结论成立,-(3分)假设当;时(也可以),结论也成立,即,-(4分)那么当时,由题设与归纳假设可知:-(6分)即当时,结论也成立,综上,对,成立。-(7分)(2)-(9分)所以-(11分)所以只需要证明(显然成立)所以对任意的自然数,都有-(14分)略21. 设函数.(1)求不等式的解集;(2)关于x的不等式在实数范围内有解,求实数a的取值范围参考答案:(1) (2) 【分析】(
10、1)由,得,分类讨论去绝对值解不等式即可;(2)由不等式在实数范围内有解,得在实数范围内有解,令,分裂讨论求出的最大值即可.【详解】解:(1),即,则,当时,解得,当时,解得,所以原不等式的解集为:(2)由不等式在实数范围内有解可得,在实数范围内有解,令,则,因为,所以,即22. (12分)已知数列的前和为,其中且(1) 求;(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法加以证明。参考答案:解:(1)a= 且a= S=n(2n-1)a当n=2时,+,当n=3时,(2) 猜想: 证明:i) 当n=1时,成立 ii)假设当n=k()时,成立, 那么当n=k+1时 ,S=(k+1) S=k(2k-1) 两式相减得: 成立 由i)、 ii)可知对于n都成立。略