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1、第二章 单自由度系统无阻尼自由振动第二章单自由度系统(xtng)第一页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动前课回顾(hug) 机械振动系统的基本元件及其特性？ 简谐振动(zhndng)的特点？第二页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动主要(zhyo)内容1. 引言(ynyn)2. 运动微分方程3. 固有频率的计算方法4. 等效质量与等效刚度5. 练习第三页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动主要(zhyo)内容1. 引言2. 运动微分方程3. 固有频率的计算方法4. 等效质量(zhling)与等效刚度5. 练习第四页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自
2、由振动引言(ynyn) 单自由度线性振动系统是最简单的振动系统，可以用一个常系数的二阶常微分方程描述它的运动规律。 在实际应用中把结构简化成一个单自由度系统可以得到初步的、有时是工程上满意的结果。 在理论分析中，利用它的直观、简单，可以把握振动系统的许多基本性质。 同时(tngsh)，单自由度系统的振动理论和方法又是多自由度系统和连续体系统振动理论和方法的基础。 第五页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动第六页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动第七页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动主要(zhyo)内容1. 引言2. 运动(yndng)微分方程3. 固有
3、频率的计算方法4. 等效质量与等效刚度5. 练习第八页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动运动(yndng)微分方程 在不考虑系统振动时能量耗散的条件(tiojin)下，单自由度系统模型可以简化为如右图所示的无阻尼模型。图中质量块只能沿水平方向运动。第九页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动运动(yndng)微分方程根据牛顿第二定律，依照下面步骤可列出系统的运动微分方程： 1. 取定一个(y )坐标系描述系统的运动；2. 设质量块沿坐标正向有一位移，对质量块进行受力分析；3. 按牛顿第二定律建立质量块的运动方程；4. 确定系统的初始条件。第十页，共三十二页。第二章 单自
4、由度系统无阻尼自由振动=+002n)0( ,)0(0 xxxxxx& &w第十一页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动运动(yndng)微分方程 单自由度系统无阻尼自由振动时的运动微分方程是一个二阶常系数齐次线性微分方程。 常系数的原因(yunyn)是系统的质量、刚度是与时间无关的常数； 齐次是因为自由振动的激励为零，振动是由初始条件引起的； 系统的动平衡由分别与加速度和位移成线性关系的惯性力和弹性力的矛盾运动决定。 第十二页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动 02n=+xxw& （1） 求解(qi ji)方程(1)，可以(ky)得到 由初始条件 ，可得第十三页，共三
5、十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动第十四页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动第十五页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动静载荷对振动系统(xtng)的影响 对于线性振动系统系统所受静载荷影响平衡位置，但不影响系统的动力学特性合理(hl)选择坐标系可以简化系统的运动方程所谓合理选择坐标系一般是指将坐标原点选在平衡位置。第十六页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动单自由(zyu)度系统自由(zyu)振动的主要特性1. 单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动，振幅、初相位决定于初始条件和系统得刚度、质量。运动的中点就是系统的平衡位置。2. 振动频率只与系统
6、的刚度、质量有关。通常称和f为系统的固有频率( yu pn l)，这是最重要的参数。3.当系统的质量不变而刚度增加时，系统的固有频率增高；当系统的刚度不变而质量增加时，固有频率降低。4.振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。第十七页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动主要(zhyo)内容1. 引言2. 运动微分方程(wi fn fn chn)3. 固有频率的计算方法4. 等效质量与等效刚度5. 练习第十八页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动固有频率( yu pn l)的计算方法 振动系统的固有频率是最重要的振动参数。正确、简洁地测定固有频率
7、是确定系统振动特性的基本(jbn)任务之一。 列出系统运动微分方程进而求出系统固有频率是一种常用的方法，这需要知道系统的刚度和质量。 还有其它地方法可用来求单自由度系统地固有频率： 静态位移法（单位加速度法） 能量法 第十九页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动静态位移(wiy)法（单位加速度法）第二十页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动使用静态(jngti)位移法计算固有频率P18. 例2.2第二十一页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动能量(nngling)法第二十二页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动使用能量法计算(j sun)固有频率
8、P18. 例2.3第二十三页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动系统(xtng)势能为：系统(xtng)动能为：由得第二十四页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动主要(zhyo)内容1. 引言2. 运动微分方程3. 固有频率的计算方法4. 等效质量(zhling)与等效刚度5. 练习第二十五页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动等效(dn xio)质量与等效(dn xio)刚度 离散系统模型(mxng)约定，系统的质量集中在惯性元件，弹性元件无质量。实际上，没有无质量的弹性元件。 当弹性元件的质量比系统总质量小得多时，略去弹性元件的质量对系统的振动特性计算结
9、果影响不大。 弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它会使计算得到的固有频率值偏高。 第二十六页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动等效质量(zhling)与等效刚度 如果弹性元件有质量，则它在振动中不但存储势能，也能存储动能。系统的总动能应该是惯性元件储存的动能加上弹性元件储存的动能。 因此，可以采用能量等效的方法(fngf)，加大惯性元件的数值，使惯性元件的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略去。 惯性元件数值加大的部分通常称为系统的附加质量，附加质量的动能等于弹性元件的动能。 通常称系统在动能意义下的质量为系统的等效质量，它并不等于系统惯性元件的质量加上其它元件的质
10、量。第二十七页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动等效质量(zhling)的计算步骤1. 假定系统的速度分布模型（模式），一般(ybn)的速度分布可以取为与变形分布模型一致；2. 以某一特定点的速度为参量计算系统的动能；3. 从系统动能表达式中提出该点速度平方的1/2，剩余的部分即为系统相对于该点的等效质量。第二十八页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动计算弹簧(tnhung)振子系统的等效质量P19. 例2.4第二十九页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动P21. 例2.5第三十页，共三十二页。第二章 单自由度系统无阻尼自由振动作业(zuy) 习题(xt)2.7,2.10,2.15第三十一页，共三十二页。内容(nirng)总结第二章。等效质量与等效刚度。在实际应 用中把结构简化成一个单自由度系统可以得到初步的、有时是工程上满意的结果。在理论分析中，利用它的直观、简单(jindn)，可以把握振动系统的许多基本性质。在不考虑系统振动时 能量耗散的条件下，单自由度系统模型可以简化为如右图所示的无阻尼模型。设质 量块沿坐标正向有一位移，对质 量块进 行受力分析。单自由度系统无阻尼自由振动时 的运动微分方程是一个二阶常系数齐次线性微分方程。运动的中点就是系统的平衡位置第三十二页，共三十二页。
