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1、学案6函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.课前港备区 回扣载材夯实基础【自主梳理】1 .函数奇偶性的定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个X,都有,则称f(x)为偶函数.2 .奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数? f(-x)=-f(x)? f(-x) + f(x)=;f(x)为偶函数？ f(x)=f(-x)=f(|x|)? f(x)-f(-x)=.(2)f(x)是偶函数？ f(x)的图象关于 轴对称；f(x)是奇
2、函数？ f(x)的图象关于 对称.(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有的单调性.3 .函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+ T)=,则称f(x)为 函数，其中T称作f(x)的周期.若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的.(2)性质：f(x+ T) = f(x)常常写作 f(x+ T) = f(x-T).如果T是函数y = f(x)的周期，则kT(kC Z且kw 0)也是y= f(x)的周期，即f(x+kT) = f(x).1右对于函数f(x)的te义域内任一个自变重的值x都有f(x+a)= f(x)或
3、f(x+a) =或fxf(x+ a) = 是常数且aw。)，则f(x)是以 为一个周期的周期函数.【自我检测】1 .已知函数f(x)= (m1)x2+(m2)x+(m (2017茂名月考)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最大值为 5,那么f(x)在区 间7,-3上是()A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是-5C.减函数且最大值是-5D.减函数且最小值是-513. 函 数 y = x 一 的 图 象x()A.关于原点对称B.关于直线y = - x对称 C.关于y轴对称D.关于直线y = x对称 (2017江西改编)已知函数f(x)是(一巴 +oo )上的偶函数，若对于 x0,者B
4、有f(x +2)=f(x),且当 xC 0,2)时，f(x) = log2(x+ 1),则 f(2 012)+f(2 011)的值为() 7m+12)为偶函数，则m的值是 ()A. 1B. 2C. 3D. 4A. - 2B. 1C. 1D. 25. (2017开封模拟)设函数f(x)=(x+1 a如奇函数，则 a = x课堂活动度突破考点研析热点探究点一函数奇偶性的判定 【例1】判断下列函数的奇偶性.)；x0._/1 X 1, 1(i)f(x)=(x+i)7hx； (2)f(x)=x(21+- 1-2x2+x,(3)f(x)= log2(x+、x + D； (4)f(x)= i_x2 + x变
5、式迁移1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2-x3;(2)f(x)=业-1 + 4x2;4 x2f(x)=xh二.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用【例2】函数y= f(x)(xw 0)是奇函数，且当xC(0, + 8)时是增函数，若 隼)=,求不等，、一1式fx(x 2)0的解集.变式迁移2 (2017承德模拟)已知函数f(x)=x3+x，对任意的 m-2,2, f(mx- 2) + f(x)0),在区间8,8上有四个不同的根x1，x2, x3, x4,则x1 + x2 + x3 + x4 =.变式迁移3 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间1
6、,2上是 减函数，则f(x)()3,4上是增函数3,4上是减函数3,4上是增函数A.在区间2, 1上是增函数，在区间B.在区间2, 1上是增函数，在区间C.在区间- 2 , 1上是减函数，在区间D.在区间2, 1上是减函数，在区间3,4上是减函数渗透教学思想转化与化归思想的应用【例】(12分)函数f(x)的定义域为D = x|xw0,且满足对于任意 x，xzCD,有f(x1x2) =3+侪).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)=1, f(3x+1) + f(2x6卢3,且f(x)在(0, + 8)上是增函数，求 x的取值范围.【答题模板】解二.对
7、于任意 xi, x2C D,有 f(xi x2) = f(xi) + f(x2),.令xi = x2=1,得 f(1) = 2f(1),4二。？分(2)令 x1=x2= 1,有 f(1)=f(-1) + f(-1), 1f(-1) = 2f(1) = 0.4 分令 x1= 1, X2=x有f( x)=f( 1) + f(x),f(x)=f(x),，f(x)为偶函数.6 分(3)依题设有 f(4X4)=f(4) + f(4) = 2,f(16X 4)=f(16) + f(4) = 3, 7 分. f(3x+ 1)+f(2x 6)3,即 f(3x+ 1)(2x- 6)Wf(64)8 分f(x)为偶
8、函数，. f(|(3x+ 1)(2x- 6|)Wf(64). 10 分又f(x)在(0, + 8)上是增函数，f(x)的定义域为 D. 0|(3x+1)(2x-6)|64.11 分解上式，得 3x5 或7Wx 1或：x3. 333.x 的取值范围为x|7Wx 1 或一；x3 或 3xW5. 12 分 333【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x)wf(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0,+ 8)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉f”,若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x) = f(|g(x)|),又若能注意到 从而得出00,
9、课堂小结f的过程中，如果思维不缜密，不能及时回0|(3x+1)(2x-6)|64,导致结果错误.1 .正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；f( x) = - f(x)或f( x) =f(x)是定义域上的恒等式.2 .奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式:f-x f(-x)= if(x)? f(-x) f(x)=0?1 x士(f(x)w。).y轴对称，反之也真.利用这一性3 .奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于质可简化一些函
10、数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性.1 ,4 .关于函数周期性吊用的结论：对于函数f(x),右有f(x+a) = f(x)或f(x+a) = l告f xf(x+ a)= 去仍为常数且aw0),则f(x)的一个周期为2a谡后博司区I精题精练规范答题(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1. (2017吉林卞拟)已知f(x) = ax2+bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么a+b的值为()1 1A .- 7B.o3311C.2D. 52. (2017银川高三年级第四次月考)已知定义域为x|xw。的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(一8, 0)上是增函数，若f(-3)=0
11、,则号2。的解集为A. ( 3,0) U (0,3)B.(巴-3)U (0,3)C.(巴3)U (3, i )D. (-3,0)U(3, +8)3. (2017鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x+2) = 4,当1x0时，f(x) = 2x+2x+ b(b为常数)， 则f(1)等于()A. 3B. 1C. 1D. - 35. 设函数f(x)满足：y= f(x+1)是偶函数；在1, +)上为增函数，则f(1)与f(2) 大小关系是题号12345答案A. f(1)f(2)C. f(1)=f(2)B. f(1)0,是奇函数，则a+b6. (2017辽宁部分重点中学 5月联考)若
12、函数f(x)=$a, x=0, 、x+ b, x1 , f(2)=2m二3,则m的取值范围是m 18. 已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且 g(x) = f(x 1),若f(2)=2, 则f(2 010)的值为.三、解答题(共38分)9. (12分)(2017汕头*II拟)已知f(x)是定义在 6,6上的奇函数，且 f(x)在0,3上是x的 一次式，在3,6上是x的二次式，且当3WxW6时，f(x)f(5)=3, f(6) = 2,求f(x)的表达式.10. (12 分)设函数 f(x) = x-12 2|x|1(3WxW3)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图
13、象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(4)求函数的值域.11. (14分)(2017舟山调研)已知函数f(x) = x2 + -(x 0,常数aCR). x、讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在2, +8 )上为增函数，求实数 a的取值范围.答案自主梳理1. f(-x)=- f(x) f( - x) = f(x)2. (1)0 0 (2)y 原点 (3)相反3. (1)f(x)周期 最小正周期 (2)2a自我检测1. B 因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0,即m 2 = 0, m= 2.2. A奇函数的图象关于原点对称，对称区
