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1、黑龙江省哈尔滨市祥顺中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则与的夹角是（ ）. A. 30 B. 60 C. 120 D. 150参考答案：C2. 等差数列-5，-2,1，的前20项的和为（ ）A、450 B、470 C、490 D、510参考答案：B略3. 一个球内切于棱长为2的正方体，则该球的体积为 A. B. C. D. 参考答案：C4. 若a1，b1则函数y=ax+b的图象必不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：B【考点】指数函数的
2、单调性与特殊点【分析】根据图象变换可以得到y=ax+b的图象恒过定点（0，1+b），再根据函数的单调性和b1，即可确定答案【解答】解：y=ax+b的图象是由y=ax的图象向下平移了|b|个单位，又y=ax的图象恒过定点（0，1），y=ax+b的图象恒过定点（0，1+b），a1，且b1则y=ax+b是R上的单调递增函数，且过点（0，1+b），函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，函数y=ax+b的图象必不经过第二象限故选：B5. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D试题分析：由直线方程可知斜率为考点：直线斜率和倾斜角6. 已知两条直线和互相垂直，则等于( )A B C
3、D参考答案：A略7. 已知函数，则=（ ）.A. 82B. -17C. 4D. 1参考答案：D【分析】先求出，再计算即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查求函数值，由内向外逐步代入，即可得出结果，属于基础题型.8. 已知等比数列的公比为正数，且，则（）A. B. C. D. 2参考答案：B9. 函数f（x）=log2（3x1）的定义域为（）A1，+）B（1，+）C0，+）D（0，+）参考答案：D【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则3x10，即3x1，x0即
4、函数的定义域为（0，+），故选：D【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础10. 已知函数,则不等式的解集是（ ）A. B. C. 3,+)D. 参考答案：A【分析】由已知可知，函数为偶函数，且时，单调递减，从而即可求结果.【详解】解：,即函数为偶函数，又易知时，单调递减，且，由可得，即，且，所以，解得且，因此原不等式的解集为.故选：A【点睛】本题主要考查了偶函数对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于知识的综合应用二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量=，向量=（cosx，m+cosx），函数f（x）=?，下列关于函数f（x）
5、的结论中正确的是最小正周期为； 关于直线对称；关于点中心对称； 值域为参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量的运算求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断即可【解答】解：向量=，向量=（cosx，m+cosx），函数f（x）=?=sinxcosx+cos2xm2=sin2x+cos2x+=sin（2x+），最小正周期T=当x=时，sin（2x+）=1，f（x）关于直线对称；当x=时，sin（2x+）=，f（x）关于点中心对称sin（2x+）值域为1，1，即1sin（2x+）1，f（x）=sin（2x+），可得1sin（2x+），即f（x
6、），f（x）的值域为，故答案为：12. 设全集,集合，,那么=_。参考答案：略13. 设，能表示从集合到集合的函数关系的是_ABCD参考答案：D项当时，故项错误；项当时，故项错误；项当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；项在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确综上所述故选14. 已知数列的前项和满足：，那么_参考答案：略15. 当且时，函数的图象必过定点 .参考答案：略16. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 参考答案：17. 证明：函数在上为增函数。参考答案：设，且且函数在上为增函数。三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或
7、演算步骤18. 已知函数.（1）求证：不论为何实数，总为增函数；（2）求的值，使为奇函数；（3）当为奇函数时，求的值域。参考答案：解： (1)设，且, 则 =, , ,即,所以不论为何实数总为增函数. (2) 为奇函数, ,即,解得: （3）由(2)知, , 所以的值域为 略19. 设a为正实数，记函数f（x）=a的最大值为g（a）（1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由参考答案：【考点】函数与方程的综合运用；函数最值的应用【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】
8、（1）由t=+平方得=t21，从而将函数f（x）换元为m（t），而m（t）的定义域即t=+的值域，平方后求其值域即可；（2）由（1）知，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）；（3）假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），分类讨论，即可得出结论【解答】解：（1）由题意得，1x1，函数f（x）的定义域为1，1t=+，由x1，1得，t22，4，所以t的取值范围是，2又=t21，m（t）=at2ta，t，2；（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2ta，t，2的最大值注意到直线t=是抛物线m（t）=at2ta的对称轴，分以下几种情况讨论：，即a知m（t）=at2ta在，2上单调
9、递增，g（a）=m（2）=a2当2时，a，g（a）=m（）=a当2，即0a时，g（a）=m（）=g（a）=；（3）由（2）可得g（）=假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），则a2时，a2=，方程无解；a2时，a2=，a=22，不符合综上所述，不存在大于的正实数a满足g（a）=g（）【点评】本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求
10、PA的长参考答案：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)设PB与AC所成角为，则cos(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0.所以令y，则x3，z，所以m同理，可求得平面PDC的法向量n因为平面PBC平面PDC，所以mn0，即60.解得t所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA21. 求值：（1）（2）参考答案：解：（1）（2）22. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.参考答案：（1）A=；（2）.【分析】（1）由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案.（2）利用余弦定理得到，代入面积公式得到答案.【详解】解：（1）因为所以由正弦定理可得整理可得左右同除以得到,即A=(2) 由余弦定理，得，故，所以三角形的面积.【点睛】本题考查了是正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.
