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1、广西壮族自治区北海市黄稍中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i是虚数单位，若，则（ ）A. 1B. C. D. 参考答案：C【详解】试题分析：由题意得，所以，故选C考点：复数的运算及复数的模2. 若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A（5，7）, B（-3，-3）,C（3，3）, D（-5，-7）参考答案：A3. 已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A-20 B20 C. D60参考答案：A4. 函数的大致图象为（ ）A B C D
2、参考答案：D5. 直线与曲线相切于点A（1，3），则2a+b的值为（ ）A.2B. -1C.1 D.-2参考答案：C6. 若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是A B C D参考答案：A7. 函数f(x)lg(1x)的定义域是A(，1) B(1，)C(1,1)(1，) D(，)参考答案：C8. 设集合，则（ ） A B C D参考答案：B9. 已知x0，y0，xyxy，当xy取得最小值时，x、y的值分别是（）（）x，y（）x，y（）x，y（）x，y参考答案：A略10. 中国古代数学家赵爽涉及的弦图是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成如图所示的菱形，
3、已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图中菱形的一个锐角的正弦值为（ ）A B C D参考答案：A大正方形边长为，小正方形边长为，设直角三角形较小的角为，则，两边平方得.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若是幂函数，且满足，则= . A. 3 B.-3 C. D.参考答案：C略12. 设函数，点为函数图像上横坐标为的点，为坐标原点 , ，用表示向量与的夹角，记，那么_参考答案：答案： 解析: （事实上） 故13. 不等式组所表示的平面区域的面积等于_参考答案：14. 设函数f（x）=若a=0，则f（x）的最大值为2；若f（x）无最大值，则实数a的取值
4、范围是参考答案：（，1）【考点】分段函数的应用【分析】将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=1时，f（x）的最大值为2；若f（x）无最大值，则，或，解得答案【解答】解：若a=0，则f（x）=，则f（x）=，当x1时，f（x）0，此时函数为增函数，当x1时，f（x）0，此时函数为减函数，故当x=1时，f（x）的最大值为2；f（x）=，令f（x）=0，则x=1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a（，1）故答案为：2，（，1）15. 计算： .参考答案：116. 若数列an是正项数列，且则=_.参考答案：17. 的展开式中，的系数为 （用数字作答） 参考答案：-70 三、 解答
5、题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，其中kR且k0（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k=1时，若存在x0，使1nf（x）ax成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（1）求导函数，对k讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）分离参数，构造新函数，g（x）=（x0），存在x0，使1nf（x）ax成立，等价于ag（x）max，由此可求实数a的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f（x）=当k0时，令f（x）0，可得x0或
6、x2；令f（x）0，可得0x2函数f（x）的单调增区间为（，0），（2，+），单调减区间为（0，2）；当k0时，令f（x）0，可得x0或x2；令f（x）0，可得0x2函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（，0），（2，+）；（2）当k=1时，x0，1nf（x）ax成立，等价于a设g（x）=（x0）存在x0，使1nf（x）ax成立，等价于ag（x）max，当0xe时，g（x）0；当xe时，g（x）0g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减g（x）max=g（e）=a【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查存在性问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档
7、题19. 已知函数f（x）=，xR（） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；（）已知ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值参考答案：【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法 【专题】三角函数的求值【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x）1，可得最小值和周期；（）由f（C）=sin（2C）1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得【解答】解：（）化简可得f（x）=sin2xcos2x1=sin（2x）1，f（x）的最小值为2，最小正周期为T=（）f（C）=
8、sin（2C）1=0，sin（2C）=1，0C，2C，2C=，C=，与共线，sinB2sinA=0，由正弦定理可得=，即b=2a，c=3，由余弦定理可得9=a2+b22abcos，联立解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题20. （本小题满分14分）设函数 （1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.参考答案：（1） 显然,当时,故在上递增. 2分又，故存在唯一的，满足 4分（2）由（1）知在上递增因为所以 6分，由（1）知在上递增故，即数列单调递减. 9分(3
9、) 由（2）数列单调递减，故而 11分两式相减：并结合，以及所以有 14分21. 设椭圆的左右焦点分别为过椭圆的焦点且与椭圆交于P,Q两点，若。（1）求椭圆的方程；（2）圆相切且与椭圆C交于不同的两点A,B，O为坐标原点。若，求OAB的取值范围.参考答案：略22. 已知函数f（x）=|x+1|x3|（）画出函数f（x）的图象；（）若不等式f（x）对任意实数m1，求实数x的取值范围参考答案：【考点】函数的图象【分析】（）运用绝对值的含义，对x讨论，分x3，1x3，x1，去掉绝对值，画出图象即可；（）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为2，再由不等式恒成立思想可得f（x）2，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围【解答】解：（）由零点分段法，得f（x）=，函数f（x）的图象如图所示：（）=2，当且仅当（3m+1）（1m）0，且|3m+1|1m|，m1，即m1或m1时，取等号，由不等式f（x）对任意实数m=1恒成立，得|x+1|x3|2，由（）中图象，可知x2，所以实数x的取值范围是x|x2
