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1、第三节 用频率特性法分析 系统稳定性第四章 频率特性法一、开环频率特性和闭环特征式的关系二、相角变化量与系统稳定性的关系三、乃魁斯特稳定判椐四、对数频率稳定判椐五、相对稳定性及稳定裕量第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性一 、开环频率特性和闭环特征式的关系 设系统的开环传递函数： G(s)H(s)C(s)R(S)G(s)=M1(s)N1(s)H(s)=M2(s)N2(s)系统的结构图G(s)H(s)= M (s)N(s)M1(s)M2(s)N1(s)N2(s)=系统的闭环传递函数为： (s)= 1+G(s)H(s)G(s)M (s)M1(s)N1(s)1+N (s
2、)=N2(s)M1(s)N(s) +M(s)=D(s)B(s)=开环特征多项式：N(s)=0闭环特征多项式： D(s)=0设F(s)=1+G(s)H(s)N(s) +M(s)N(s)=kf(TiS+1)ni=1(TjS+1)nj=1二、相角变化量和系统稳定性的关系 1 相角变化量 相角变化量为： ReIm0=0TS+1的幅相频率特性曲线 根的实部为负，系统稳定，相角增量为900 。 第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性=0 (jT+1)G(s)=TS+1G(j)=jT+1=() (0) =90o -0o =90oReIm0 TS-1幅相频率特性曲线 根的实部为正，
3、系统不稳定，相角增量为-900 。 TS-1 因子的相角变化量为： 第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性=0 (jT-1)=90o-180o=-90o=02 .系统特征式的相角变化量 相角变化量为： 1）系统开环是稳定的，则 第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性F(j)=1+G(j)H(j)=0 F(j)= D(j)- N(j) =0=0 N(j)=n90o=0D(j)N(j)=设系统为n阶 设闭环系统稳定，则 D(j)=n90o=0 此时必有 F(j)=0=0 若开环系统是稳定的，闭环系统稳定，则F(j)曲线绕原点相角变化量为零。
4、n-p个稳定极点第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性 N(j)=(n-p)90o-p90o=0=(n-2p)90o2）系统开环有p个不稳定的极点，则有 设系统闭环稳定，则 D(j)=n90o=0 F(j) =0 D(j) -=0 N(j)=0=n90o-(n-2p)90o=2p90o=p180o 若系统开环有p不稳定极点，则闭环稳定的充要条件是： F(j)曲线相角变化量为p.1800 ，即p/2 周。三 、奈魁斯特稳定判据F(j)的原点 -10ReImG(j)H(j)1. G(s)H(s)中没有积分环节011+G(j)H(j)ReIm第三节第三节 用频率特性法分析
5、系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性G(j)H (j) 的 (-1,j0)点 F(s)=1+G(s)H(s)奈氏稳定判据可表述为： 设开环传递函数有p 个不稳定的极点，当=0 时，系统开环幅相特性曲线G(j)H (j) 逆时针方向绕(-1,j0)点的周数N=p/2 ，即转过p.1800则闭环系统是稳定的 。否则，闭环系统不稳定。 第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性(a) 系统的G(j)H (j)曲线如图 例 试判断系统的稳定性。 p=1，相角变化量为-1800 ，系统不稳定。P=1=0-10ReIm第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定
6、性=P=2-1ReIm0p=2，相角变化量为2 1800 ，系统稳定。(b)=0=2. 含有积分环节时的奈氏判据 若系统开环传递函数中包含有个积分环节，则先绘出=0+的幅相频率特性曲线，然后将曲线进行修正后，再使用奈氏判据来判断系统的稳定性。在=0+开始， 逆时针方向第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性 修正方法：补画一个半径无穷大、相角为. 900的大圆弧，即=00+的曲线。ReIm0R=02=0+(a)-1=例 为积分环节的个数， p为不稳定极点 的个数，试判断闭环系统的稳定性。第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性解： =1 奈氏
7、曲线的相角变化量为p.1800 ，系统是稳定的。修正 系统的奈氏曲线如图ReIm0R=0=0+(b)-1= =2 奈氏曲线的相角变化量为p.1800 ，系统是稳定的。修正-ReIm0R=0=0+(c)-1= =3 奈氏曲线的相角变化量为p.1800 ，系统是稳定的。修正-32ReIm0R=0=0+(d)-1= =1 奈氏曲线的相角变化量为p.1800 ，系统是稳定的。修正2 例 已知系统开环传递函数试判断 闭环系统的稳定性。解： 第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性G(s)H(s)=S(TS-1)KG(j)H(j)=j(jT-1)K()=-90o-tg-1T-1A
8、()=1+(T)2K系统开环频率特性为： =0+A()=()=90o= A()= 0()=180o特殊点： 奈氏曲线：ReIm0=0+-1= =1=0 曲线顺时针方向绕过 (-1, j0) 点的，所以系统不稳定。 例 设系统的开环传递函数为试判断闭环 系统的稳定性。 1) T1T2曲线没有包围(-1,j0)点，系统是稳定的。ReIm0-1=0+=0= 奈氏曲线P=0 (0+)-1800第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性G(s)H(s)=K(T1S+1)S2(T2S+1)解：2) T1T2曲线包围了(-1,j0)点，系统不稳定。ReIm0-1=0+=0= 奈氏曲线
9、P=0 (0+)0区段内，奈氏曲线对-1800线的正、负穿越次数之差为p/2，则系统稳定。 例5-12 试用奈氏稳定判据和对数频率稳定判据判别闭环系统的稳定性。 第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性G(s)H(s)=S(1+0.02S)(1+0.2S)100解: 1) 绘出系统奈氏曲线，并确定曲线 与实轴的交点。ReIm=0=0-1=0+G(j)H(j)=j(1+0.02 j)(1+0.2 j)100=(1+0.00042)(1+0.042)-22+j(0.42-100)令虚部等于零： Q()=0.42-100=0 2 =250 得求出曲线与实轴的交点： P()=
10、(1+0.00042)(1+0.042)-222=250=-2212.1P() 1,系统不稳定。 2) 系统的伯德图转折频率：系统不稳定。 1=5, 2=50 L()/dB550-20dB/decc()-60dB/dec-40dB/dec-2002040-180 -900第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性N+-N-=-12P_五、系统的相对稳定性及稳定裕量 根据奈氏判据可知，最小相位系统是否稳定，主要看G(j)H (j) 曲线是否绕过点(-1,j0) 。奈氏曲线离点(-1,j0) 越远，则系统的相对稳定性越好。可用相位裕量和幅值裕量两个性能指标来衡量来衡量系统的
11、相对稳定性。第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性 00 系统稳定 穿越频率ReIm0负相位 裕量G(j)c2. 幅值裕量Kg幅值裕量：系统稳定系统不稳定 Kg1第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性(g)=-180oKg= G(jg)H(jg)1A(jg)1 = ReIm0Kg1g-1正幅值裕量G(j)ReIm0Kg1g-1G(j)负幅值裕量对数曲线上相位和幅值裕量:c正幅值裕量正相位裕量gKg120lg0-90-180 L()/dB()第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性c负幅值裕量负相位裕量gKg120
12、lg0-90-180 L()/dB()例 某位置控制系统的结构如图。试绘制 系统开环的伯德图，并确定系统的相 位稳定裕量 。r(s)c(s)10S(0.25S+1)(0.1S+1)解：第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性绘制出系统伯德图如图:6.32-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec第三节第三节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统稳定性10S(0.25S+1)(0.1S+1)G(s)=L()/dB104()-2002040-180 -900 由图用近似计算式可确定c。0.25c2101c=6.32=180o+(c)=180o-90o-tg-10.256.23-tg-10.16.23=90o-57.67o-32.3o= 0.03o返回
