第三章数列三等比数列【考点阐述】等比数列及其通项公式等比数列前n 项和公式【考试要求】（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题考题分类】（一）选择题（共12 题）1. （安徽卷理10）设na是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为,X Y Z，则下列等式中恒成立的是A、2XZYB、Y YXZ ZXC、2YXZD、Y YXX ZX【答案】 D 【解析】取等比数列1,2,4, 令1n得1,3,7XYZ代入验算，只有选项D满足方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3 个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除. 本题也可以首项、公比即项数n 表示代入验证得结论. 2. （北京卷理2）在等比数列na中，11a，公比1q. 若12345maa a a a a，则 m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】 C 【解析】解析：2341010123451maa a a a aq aq，因此有11m3. （广东卷理4 文 4）已知na为等比数列，Sn 是它的前n 项和。
若2312aaa， 且4a与 27a的等差中项为54，则5S= A35 B.33 C.31 D.29 【答案】 CA 【 解 析 】 设 na 的 公 比 为q， 则 由 等 比 数 列 的 性 质知 ，231412aaaaa， 即42a由4a与27a的等差中 项为54知，475224aa，即7415151(2)(22)24244aa37418aqa，即12q3411128aa qa，即116a4. （江西卷文7）等比数列na中，15252| 1,8,aaaaa则naA1( 2)n B1( 2)n C ( 2)nD( 2)n【答案】 A 【解析】考查等比数列的通项公式用代特值法解决会更好5. （辽宁卷理6）设 an 是有正数组成的等比数列，nS为其前n 项和已知a2a4=1, 37S, 则5S（A）152 (B)314 (C)334 (D)1726. （辽宁卷文3）设nS为等比数列na的前n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q（A）3 （B）4 （C）5 （D） 6 解析：选B. 两式相减得，3433aaa，44334,4aaaqa. 7. （全国卷理4 文 4）已知各项均为正数的等比数列na，123a a a=5，789a a a=10，则456a a a= (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2【答案】 A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a aa aaa，37897988()a a aa aaa10, 所以132850a a, 所以13336456465528()()(50 )5 2a a aa aaaa a8. （山东卷理9）设 an是等比数列，则“a1a2 a3”是数列 an是递增数列的（A）充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件、（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 C 【 解 析 】 若 已 知123a a a， 则 设 数 列na的 公 比 为q， 因 为123a a a， 所 以 有2111a aq1,且1a 0，所以数列na是递增数列；反之，若数列na是递增数列，则公比q1且1a 0，所以2111a a qa q，即123a a a，所以123a a a是数列na是递增数列的充分必要条件。
命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题9. （山东卷文7）设na是首项大于零的等比数列，则“12aa”是“数列na是递增数列”的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】 C 【解析】若已知12a a，则设数列na的公比为q，因为12a a，所以有11a 1,又1a 0，所以数列na是递增数列；反之，若数列na是递增数列，则公比q1且1a 0，所以11a a q，即12a a，所以12a a是数列na是递增数列的充分必要条件命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题10. （天津卷理6）已知 na 是首项为1 的等比数列，nS是 na 的前n 项和，且369SS则数列n1a的前 5 项和为（A）158或 5 （B）3116或 5 （C）3116（D ）158【答案】 C 【解析】设等比数列的公比为q，则当公比1q时，由11a得，399 327S，而66S，两者不相等，故不合题意；当公比1q时，由369SS及首项为1 得：3191611，解得2q，所以数列n1a的前 5 项和为1111124816=3116，选 C。
命题意图】本小考查等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力11. （浙江卷理3 文 5）设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS（A）11 （B）5 （C）8（ D）11解析：通过2580aa，设公比为q，将该式转化为08322qaa，解得q=-2 ，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题12. （重庆卷理1）在等比数列na中，201020078aa，则公比q 的值为（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 8 【答案】 A 解析：8320072010qaa2q（二）填空题（共2 题）1. （福建卷理11）在等比数列na中, 若公比q=4, 且前 3 项之和等于21, 则该数列的通项公式na . 【答案】n-14【解析】由题意知11141621aaa，解得11a，所以通项nan-14命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题2. （天津卷文15 ）设 an 是等比数列，公比2q， Sn 为 an 的前n 项和记*2117,.nnnnSSTnNa设0nT为数列 nT的最大项，则0n= 。
答案】 4 【解析】因为211*1(1)(1)1711,nnnnaqaqTnNa q=217(1)(1)(1)nnnq q，设nqt，则有nT=217(1)(1)(12)ttt=21617(12)ttt=161721(21)21tt817()2121=921，当且仅当1621(21)tt，即4t，所以当0nT为数列 nT的最大项时，0n=4命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用、均值不等式求最值等基础知识三）解答题（共2 题）1. （ 全 国 卷 文18 ）已 知na是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（）求na的通项公式；（）设21()nnnbaa，求数列nb的前n项和nT命题意图】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识1）设出公比根据条件列出关于1a与d的方程求得1a与d，可求得数列的通项公式2）由（ 1）中求得数列通项公式，可求出bn 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得解析】（）设公比为q，则11nnaa q. 由已知有1111234111234111112,11164.aa qaa qa qa qa qa qa qa q化简得21261264.a qa q，2. （重庆卷文16）已知na是首项为19，公差为 -2 的等差数列，nS为na的前n项和 . （）求通项na及nS；（）设nnba是首项为1，公比为3 的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT. 。