1 / 21专题 9.3 椭圆【考纲解读与核心素养】1. 掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质. 2. 会解决直线与椭圆的位置关系的问题. 3. 了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法. 4. 理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想. 了解圆锥曲线的简单应用. 5培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数据分析等核心数学素养. 6. 高考预测：高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 7. 备考重点：（1）掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，关注椭圆的“特征三角形”；（2）熟练运用方程思想及待定系数法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 【知识清单】知识点 1椭圆的定义及其应用1. 椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数( 大于 |F1F2|) 的点的轨迹 ( 或集合 ) 叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)代数式形式：集合1212P=M|MF|+|MF |=2a |FF |=2c.若ac，则集合P 为椭圆；若ac，则集合P 为线段；若ac，则集合 P 为空集2.椭圆的标准方程：焦点在x轴时，2222=1(ab0)xyab；焦点在y轴时，2222=1(ab0)yxab知识点 2椭圆的标准方程1. 椭圆的标准方程：2 / 21（1）焦点在x轴，2222+=1(ab0)xyab；（2）焦点在y轴，2222y+=1(ab0)xab. 2满足条件：22222000acabcabc， ， ， 知识点 3椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件22222000acabcabc， ， ， 图形标准方程2222+=1(ab0)xyab2222y+=1(ab0)xab范围xa yb,xb ya,对称性曲线关于, x y轴、原点对称曲线关于,x y轴、原点对称顶点长轴顶点,0a , 短轴顶点0, b长轴顶点0, a , 轴顶点,0b焦点,0c0, c焦距222122 ()F Fc cab离心率0,1cea，其中c22ab通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为22ba3 / 21知识点 4直线与椭圆的位置关系1. 直线与椭圆位置关系的判断(1) 代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2BxC0. 记该一元二次方程根的判别式为，若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0，则直线与椭圆相离(2) 几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系2直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点1122()()M xyN xy，则弦长公式为MN 221212(1)()4kxxx x或MN 2121221(1)(y)4yy yk（2）弦中点问题，适用“点差法”. 【典例剖析】高频考点一：椭圆的定义及其应用【典例 1】 （2020 湖南益阳 ? 高三三模（理） ）如图，已知1F，2F为椭圆C：22221xyab（0ab）的左、右焦点， 过原点O的直线l与椭圆C交于,A B两点（22AFBF） ，若1212=4AFAFAFAF，124AF BFS，则2tanBAF（）A14B13C23D23【答案】 D 【解析】由1212=AFAFAFAF两边平方得12=0AFAF，所以12AFAF，4 / 21由椭圆的对称性知四边形12AF BF为矩形，又因为1212=4AFAFAFAF，所以12=4ABFF，又因为124AF BFS，由矩形的面积公式与椭圆的定义得12122221212=24AFAFaAFAFAFAFF F，解得：6a，所以1212=264AFAFAFAF，即12,AFAF是方程22 640 xx的实数根，又因为22AFBF，所以21AFAF所以162AF，262AF所以2126284 3tan23462BAAFAFF. 故选： D. 【典例 2】（2018全国高考真题 （文） 已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点， 若12PFPF，且2160PF F，则C的离心率为（）A.312B.23C.312D.3 1【答案】 D 【解析】在12F PF中，122190 ,60F PFPF F设2PFm，则12122 ,3cF Fm PFm，又由椭圆定义可知122( 31)aPFPFm5 / 21则离心率22312(31)ccmeaam，故选 D. 【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1( c,0)， F2(c,0)构成的 PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边， a2b2c2.2.对焦点三角形12F PF的处理方法，通常是运用定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S（|PF|+|PF| ）(2c)|PF| +|PF |PF| |PF |cos|PF| |PF |sin. 【变式探究】1.（山东省威海市2018 届二模）已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（）A B C D【答案】 D 【解析】由题得所以当 AB x轴时， |AB| 最小， |A最大 . 当 AB x轴时， |AB|=所以 |A最大值为故答案为： D. 2.已知1F、2F是椭圆C：22221(0)xyabab的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF. 若12PF F的面积为9，则b_. 【答案】36 / 21【解析】由12PFPF知01290F PF，则由题意，得12122221221924PFPFaPFPFPFPFc，可得224364ca，即229ac，所以3b, 应填3. 【总结提升】椭圆定义的应用技巧(1) 椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2) 通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题高频考点二：椭圆的标准方程【典例 3】 （黑龙江省海林市朝鲜族中学）焦点在x 轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为 ( ) Ay21 By21 C D【答案】 B 【解析】由题意可知，椭圆方程为且 2a=4，得 a=2，又，得椭圆的标准方程为故选： B【典例 4】 （2020 全国高三其他（理） ）设1F、2F为椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，经过1F的直线交椭圆C于A、B两点，若2F AB的面积为4 3的等边三角形， 则椭圆C的方程为 _. 【答案】22196xy【解析】设椭圆C的焦距为20c c，如下图所示：7 / 21由于2F AB是面积为4 3的等边三角形，则2213sin4 3234ABAB，得AB4，即2F AB是边长为4的等边三角形，该三角形的周长为1212124AFAFBFBFa，可得3a，由椭圆的对称性可知，点A、B关于x轴对称，则216AF F且ABx轴，所以，2124AFAF，12AF，22122122 3cF FAFAF，3c，则226bac，因此，椭圆C的标准方程为22196xy. 故答案为：22196xy. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为221mxny(0)0mnmn ， 且(3)找关系：根据已知条件，建立关于abcmn、 、 或、的方程组(4)求解，得方程2(1)方程2222y+=1xab与2222y+= ( 0)xab有相同的离心率(2)与椭圆2222+=1(ab0)xyab共焦点的椭圆系方程为22222+=1(ab0,0)xybkakbk， 恰当运用椭圆系方程，可使运算简便8 / 21【变式探究】1. （山西省大同市与阳泉市2018 届二测）已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（）A B C D【答案】 B 【解析】由左焦点为，可得，即，过点作倾斜角为的直线的方程为，圆心到直线的距离，由直线与圆相交的弦长为，可得，解得，则椭圆方程为，故选 B. 2. 求与椭圆22y+=143x有相同离心率且经过点(2,- 3)的椭圆标准方程【答案】22y+=186x或22=1252534yx【解析】法一：222231e= = 1 = 142cabbaaa，设所求椭圆方程为2222+=1(mn0)xymn，则211-()4nm，从而233(),42nnmm，又222243=1,m =8,n =6mn，方程为22y+=186x.若焦点在y轴上，设方程为2222+=1(mn0)yxmn则2234=1mn，且32nm，9 / 21解得222525m =,n =34.故所求方程为22=1252534yx.法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为22y+=t(t0)43x，将点(2,- 3)代入，得2223t=243，故所求方程为22y+=186x. 若焦点在y轴上，设方程为22x+= (0)43y代入点(2,- 3)，得25=12，22=1252534yx. 综上知，所求椭圆的标准方程为22y+=186x或22=1252534yx.高频考点三：椭圆的几何性质【典例 5】 （2020 山东泰安 ? 高三其他）【多选题】 已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆22:344Exy上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若PQPF的最小值为2 56，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）A椭圆C的焦距为2B椭圆C的短轴长为3CPQPF的最小值为2 5D过点F的圆E的切线斜率为473【答案】 AD 【解析】圆E的圆心为3,4E，半径长为2，由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则24a，可得2a，10 / 21设椭圆的左焦点为点1F，由椭圆的定义可得124PFPFa，14PFPF，所以，1111442462 56PQPFPQPFPFPQPFPEEF，当且仅当P、Q、E、1F四点共线，且当P、Q分别为线段1EF与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，则22213403162 5EFcc，02ca，解得1c，所以，椭圆C的焦距为22c，A 选项正确；椭圆C的短轴长为22222 3bac，B 选项错误；22223 1402422PQPFPEPFEF，当且仅当P、Q、E、F四点共线，且当P、Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，C选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x，圆心E到该直线的距离为3 142，则直线1x与圆E相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为1yk x，即kxyk0，由题意可得223441211kkkkk，整理得23830kk，解得473k. D 选项正确 . 故选： AD. 11 / 21【典例 6】（2019浙江高考模拟）已知P是椭圈222210,0 xyabab上的动点， 过P作椭圆的切线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当AOB（O为坐标原点）的面积最小时，123cos4F PF（1F、2F是椭圆的两个焦点） ，则该椭圆的离心率为_【答案】23【解析】如图所示，设切点0000,0P xyxy直线AB的方程为：00yyk xx0k联立0022221yyk xxxyab，化为：222222222000020ba kxa kykxxaykxa b由直线AB与椭圆相切，可得：2422222220044?0a kba kaykxa b化为：222200ykxba k200022222=a k ykxxba k，化为：222200b。