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1、2022年山东省青岛市第五十九中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点、,则向量在方向上的投影为（）ABCD 参考答案：A略2. 若x，y满足约束条件，则的最大值是A1 B.0 C.2 D.3参考答案：B3. 直线x+2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A2B2CD1参考答案：B【考点】直线与圆相交的性质 【专题】计算题【分析】由直线与圆相交的性质可知，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+2=0的距离d，即可求解【解答】解：圆心（0，0）到直线x+2=0的距
2、离d=由直线与圆相交的性质可知，即故选B【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，解题的关键是公式的应用4. 设,则是的（ ）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要参考答案：B【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，从集合的真包含关系，判断出结果.【详解】由，可得，由，解得，所以，所以是的必要不充分条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断，在解题的过程中，注意学会应用集合的真包含关系判断其充分性，属于简单题目.5. 若复数z满足，则|z|=（ ）A B1 C D参考答案：B由题意，易得：，.故选：B6. ABC中，abc分别为A
3、BC的对边，如果abc成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于（）ABCD参考答案：B【分析】由题意可得2b=a+c平方后整理得a2+c2=4b22ac利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c平方得a2+c2=4b22ac又ABC的面积为，且B=30，由SABC=acsinB=ac?sin30=ac=，解得ac=6，代入式可得a2+c2=4b212，由余弦定理cosB=解得b2=4+2，又b为边长，b=1+故选：B【点评】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题7. 已知等比数列的各项均为正数，公比，记，则
4、P与Q大小关系是（ ）A B C D无法确定参考答案：A略8. 在中，边上的中线长之和为30，则的重心的轨迹方程（ ）A B C D参考答案：D9. 函数f（x）=ax3x在（，+）内是减函数，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca2Da参考答案：A【考点】3F：函数单调性的性质【分析】根据f（x）=3ax210恒成立，求得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ax3x在（，+）内是减函数，故f（x）=3ax210恒成立，故有3a0，求得a0，故选：A10. 若,则等于( )A B C D 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点的直线l与圆交于A,B两
5、点,当最小时,直线l的方程为_.参考答案：12. 设x，y都是正数，且，则 3x+4y的最小值 参考答案：13. 在ABC中，BAC=90，AB=6，D为斜边BC的中点，则的值为_。参考答案：1814. F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是 。参考答案：15. 若实数x, y满足，则的最小值为_；参考答案：-15画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，当经过可行域的点时，目标函数取得最小值，由 ，解得，则的最小值是.16. 定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 参考答案：17. 设等比数列an满足a1+a
6、3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 参考答案：64试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.考点：等比数列及其应用三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问
7、题；椭圆的标准方程【分析】（）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2c2=3，即可求得椭圆E的方程（）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m0，=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可【解答】解：（）过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为84a=8，a=2e=，c=1b2=a2c2=3椭圆E的方程为（）由，消元可得（4k2+3）x
8、2+8kmx+4m212=0动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）m0，=0，（8km）24（4k2+3）（4m212）=04k2m2+3=0此时x0=，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x2）2+（y）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x）2+（y）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）方法二：假设平面内存在定点M
9、满足条件，因为对于任意以PQ为直径的圆恒过定点M，所以当PQ平行于x轴时，圆也过定点M，即此时P点坐标为（0，）或（0，），由图形对称性知两个圆在x轴上过相同的交点，即点M必在x轴上设M（x1，0），则?=0对满足式的m，k恒成立因为=（x1，），=（4x1，4k+m），由?=0得+4x1+x12+3=019. (本小题满分12分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从道备选题中一次性抽取道题独立作答，然后由乙回答剩余题，每人答对其中题就停止答题，即闯关成功已知在道备选题中，甲能答对其中的道题，乙答对每道题的概率都是 （）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； （）设甲答对题
10、目的个数为，求的分布列及数学期望参考答案：解：（）设甲、乙闯关成功分别为事件，则，2分，4分所以，甲、乙至少有一人闯关成功的概率是：6分 （）由题意，知的可能取值是、，则的分布列为 10分 12分略20. （本小题满分12分）参考答案： （2）由，由正弦定理得8分，即10分由余弦弦定理，11分， 12分21. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，点在直线上求和的值；求数列的通项和； 设，求数列的前n项和参考答案：解：（1）是与2的等差中项 -1分 -3分（2） . a12 -6分 -8分略22. 某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示
11、年份200x（年）01234人口数y（十）万5781119（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；（3）据此估计2005年该城市人口总数参考答案：【考点】线性回归方程【分析】（1）以年份为x轴，人口数为y轴，根据表格数据，可得散点图；（2）计算系数、，即可得到线性回归方程；（3）利用线性回归方程，可估计2005年该城市人口总数【解答】解：（1）散点图如图；（2）05+17+28+311+419=132，02+12+22+32+42=30=3.2， =3.6；线性回归方程为y=3.2x+3.6；（3）令x=5，则y=16+3.6=19.6，故估计2005年该城市人口总数为19.6（十）万
