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1、等差数列的前n项和例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140,其中，项数为奇数的各项的和为125,求其第6项.解依题意，得,10(10-1)10a. Hd = 1400得n6 时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-SnATn=2(-25+50)-(-n2 + 10n)=n2-10n+50Tn = n2 + lOn n2-10n+50nW5nWN*n6说明 根据数列%中项的符号，运川分类讨论思想可求0,由已知可得J(af + 2d)(a +bd) = 12a1 + 3d+a1+5d= -4由，有ai=2 4d,代入，有已2=4再由 d0,得 d = 2/.a-10最后
2、由等差数列的前n项和公式，可求得S20 = 180解法二由等差数列的性质可得：a4 + a6=a3-Fa7即a3+a7=-4乂 a3a7=-12,由韦达定理可知：a3，a?是方程x2+4x-12=0的二根解方程可得x1=-6, x2 = 2V d0 Aan是递增数列 玄3 = 6,3y=2a7 _a?d = -y = 2, % = 10, S2O = 18O【例9 等差数列a、%的前n项和分别为Sn和若则瞥等于【iooB.200301A. 1199C 299分析该题是将晋斥二語发牛联系，可用等差数列的前n项 和公式S.=他；叫）把前n项和的值与项的值进行联系.解法vsn =s I JI 丿HP
3、,1n2 na!+an a(+anbl +bn b+bnll + a199,2b100=blb199a】+a1992X 199丁 2a 100=ag +b22n3n +1a io。虬+片9 3X 199 + 1299199 选C.解法二利用数列aj为等差数列的充耍条件：Sn = an2 + bnSn _ 2n 1； _3n + l可设 Sn = 2n2k, Tn = n(3n + l)k an _Sn-Sz _2i?k-2(n-1)5 bn Tn- T J n(3n + l)k-(n- l)3(n-1) + lk4n - 2 2n - 16n - 23n- 1.a,00 2X 100-1199
4、石=3X100-1 = 299说明该解法涉及数列aj为等差数列的充要条件Sn=an2 + bn,由已知 =将Sn和Tn写成什么？若写成Sn=2nk, Tn=(3n+l)k,in sn +1k是常数，就不对了.【例10】解答下列各题：(1) 已知:等差数列a中a2=3, a6= 17,求ag;(2) 在19与89中间插入儿个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350,求这儿个数:(3) 已知:等差数列aj中,a4+a6+a15+a17=50,求 S?。；(4) 已知:等差数列aj中,an=33-3n,求Sn的最大值.分析与解答_ 7 3(1) a6=a2 + (6-2)d d
5、=一=5ag=ag + (9 6)d= 17 + 3 X ( 5)= 32v_(a,+an+2)(n + 2)e 6+2 一(2) a1=19, an+2=89, Sn+2 = 13502,2X1350 n+ 2 = _ = 25 n = 2319 + 8935an+2=a25=ai + 24d d=J故这儿个数为首项是21豊，末项是86右，公差为善的23个数.(3) Va44-a6 + a15 + ai7=50乂因它们的下标冇4 + 17 = 64-15=21/.a4+a17=a6+a15=25S20(a】 +a2o)X2O2=10X(a4+a17) = 250 Van=333 n A 32
6、 = 30(a +aj n2(63-3n)n2-I-63+ n3X212r-.n WN,当210或211时，Sn取最大值165.【例13 等差数列aj的前n项和Sn = m,前m项和Sm = n(mn),求前m + n项和Sm+n. 解法一设心的公差d按题意,则有S.F +呼日m(m- 1)Snl = ma1 Hd=n 7 * 2m + n-1=(m+ n)(a + d)=(m + n)解法二 设 Sx=Ax2 + Bx(xeN)Am2+Bm=nAn2+Bn=m一，得 A(mn2) + B(m n) = n mTrnH n / A(m + n) + B=1故 A(m + n) + B(m +
7、n) = (m + n)即 Sm+n=_(m+n)说明ar d是等差数列的基本元索，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了a,+ m+1dl,这种设而不解的“整体化”思想，在解有关数列题日中值得借鉴解法二中，山于是等差数列，由例22,故可设Sx=Ax2 + Bx. (xGN)【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则n之值是多少?解TS偶项一S奇项二nd.n d=90-75=15乂由 a2n_al = 27 即(2n l)d=27nd=15(2n_l)d = 27【例15】 在等差数列anP，已知a = 25, S9
8、 = S17,问数列前多少项和最大，并求出最大值. 解法一 建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最人值.中中.17X16, 9X8根据题恵：S17 = 17a,d, Sg = 9adTa广25, S17=S9 解得 d = -2；Sn = 25n ( 2) = n2 + 26n = (n13)2 +169当213时，Sn最大,最大值S13 = 169解法二 因为a广250, d = -212.5V 8 25 Sg = S79X817X16“戸9X25+ 2心-17X25+d,解 d 2 .an=25 + (n 1)( 2)= 2n + 27即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169. 解法三 利用s9=s17寻找相邻项的关系.由题意 Sg=S7 得 a10*_alla12*_，*a17=而 a10*a17=alla16=a12*a15=a13*a14 a3 + a4 = 0，巧3二a】4 13 34AS13=169ft 大.解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最人值时的naj是等差数列.可设Sn=An2+Bn对称轴x = 二13取 213 时,S13 = 169 最大
