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1、2021-2022学年辽宁省葫芦岛市兴城第一高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则是（ ）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数参考答案：B略2. 一船以每小时km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为（ ）A. 60kmB. kmC. kmD. 30km参考答案：A分析：画出示意图，根据题中给出的数据，解三角形可得所求的距离详解：
2、画出图形如图所示，在中，由正弦定理得，船与灯塔的距离为60km故选A点睛：用解三角形的知识解决实际问题时需注意以下几点：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，最后可得所求3. 函数且 的图象是 ()A. B. C. D. 参考答案：C当 时，y=cosxtanx?0，排除B，D.当 时，y=?cosxtanx0，排除A.本题选择C选项.4. 已知向量满足，则 A0 B2 C4 D8参考答案：A略5. 已知
3、sin+cos=，则sin?cos的值为（）ABCD参考答案：B【考点】三角函数的化简求值【分析】根据同角三角函数关系式化简即可求值【解答】解：由sin+cos=，可得（sin+cos）2=，即1+2sincos=，sin?cos=故选B6. 已知直线上两点的坐标分别为,且直线与直线垂直，则的值为（ ）. . . .参考答案：B7. 集合|25，若则a的取值范围为（ ）. B. .参考答案：B略8. 设f(x)=，则等于（ ）A B C D 参考答案：B略9. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角等于（）A30B45C60D90参考答案：D【考点】异面直线及其
4、所成的角【分析】先分析出BD1在面ADD1A1上的射影是AD1，再根据其为正方体得到AD1A1D；最后结合三垂线定理及其逆定理的内容即可得出结论【解答】解：因为BD1在面ADD1A1上的射影是AD1，又因为其为正方体所以有：AD1A1D再根据三垂线定理中的：面内的一条直线和射影垂直，则此面内的该线就和此面对应的斜线垂直所以有：BD1A1D 即：异面直线BD1与A1D所成的角等于90故选：D【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法以及三垂线定理的应用解决本题可以用三垂线定理和其逆定理；也可以通过平移把异面直线转化为相交直线来求解10. 已知正项等比数列an，满足a5+a4a3a2=9，则a6+a
5、7的最小值为（）A9B18C27D36参考答案：D【考点】88：等比数列的通项公式【分析】可判数列an+an+1也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列设其公比为x，a2+a3=a，则x（1，+），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x（1，+），由导数求函数的最值即可【解答】解：数列an是各项均为正的等比数列，数列an+an+1也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列设其公比为x，a2+a3=a，则x（1，+），a5+a4=ax，有a5+a4a3a2=axa=9，即a=，y=a6+a7=ax2
6、=，x（1，+），求导数可得y=，令y0可得x2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+）单调递增，当x=2时，y=a6+a7取最小值：36故选：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 求值： .参考答案：112. 一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为参考答案：4【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2所以球的半径为：所求球的体积为=4故答案为4【点评】本题考查球的内接体，球的
7、体积的求法，求出球的半径是解题的关键，考查计算能力13. 已知集合，则 .参考答案：1,214. 正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 参考答案：略15. 已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 参考答案：（，4）（4，1）【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；数量积表示两个向量的夹角【分析】由与的夹角为锐角，则0，根据向量，我们要以构造一个关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围，但要特别注意0还包括与同向（与的夹角为0）的情况，讨论后要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值【解答】解：与的夹角为锐角0即220解得1当=4时，与同向实数的取值
8、范围是（，4）（4，1）故答案为：（，4）（4，1）【点评】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，由两个向量夹角为锐角，两个向量数量积大于0，我们可以寻求解答的思路，但本题才忽略0还包括与同向（与的夹角为0）的情况，导致实数的取值范围扩大16. 已知Sn为数列an的前n项和，且满足a11，anan13n(nN*)，则S2014_.参考答案：2310072由anan13n知，当n2时，anan13n1.所以3，所以数列an所有的奇数项构成以3的公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列又因为a11，所以a23，a2n13n1，a2n3n.所以S2014(a1a3a2013)(a
9、2a4a2014)42310072.17. 在ABC中，若，成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则ABC的形状为_参考答案：等边三角形分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列得到角A，B，C的三角函数关系，再由A，B，C也成等差数列得到角B等于60，然后联立并展开两角和与差的正弦求解答案详解：因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，得lgsinA+lgsinC=2lgsinB，即sin2B=sinAsinB又三内角A，B，C也成等差数列，所以B=60代入得sinAsinB=假设A=60-，B=60+代入得sin（60+）sin（60-）=展开得，co
10、s2?sin2即cos2=1所以=0所以A=B=C=60故答案为等边三角形点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知，.(1) 当时，求；(2) 当时，求的值.参考答案：（1）由已知得：, （2）分当时，, 所以， （4）分又，. （6）分(2)当时，.， （8）分，. （10）分由可得，. （12）分19. 已知函数f（x）=x|2ax|+2x，aR（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a2，2，使得关于x的方程f（x）
11、tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围参考答案：【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用【分析】（1）写出f（x）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a12a，2aa+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f（x）tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解讨论当1a1时，当a1时，当a1时，判断f（x）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围【解答】解：（1）为增函数，由于x2a时，f（x）的对称轴为x=a1；x2a时，f（x）的对称轴为x=a+1，解得1a1；（2）方程f（x）tf（
12、2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解当1a1时，f（x）在R上是增函数，关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有3个不相等的实数根当a1时，2aa+1a1，f（x）在（，a+1）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减，在（2a，+）上单调递增，所以当f（2a）tf（2a）f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即4at4a（a+1）2a1，设，因为存在a2，2，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，1th（a）max又h（a）在（1，2递增，所以，当a1时，2aa1a+1，所以f（x）在（，2a）上单调递增，在（2a，a1）上单调递减，在（a1，+）上单调递增，所以当f（a1）tf（2a）f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即（a1）2t4a4aa1，设，因为存在a2，2，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，所以1tg（a）max又可证在2，1）上单调递减，所以，所以综上，【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题
