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1、绵阳市高 2012 级第三次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分BCBAC DCACB 10提示：当AB 垂直于 x 轴时，显然不符合题意设 AB 中点为)2(tP，于是tyyyyyyxxyykAB2444212221212121 可设直线AB的方程为)2(2xtty，联立方程：，xyxtty4)2(22消去x得：082222ttyy， y1+y2=2t，y1y2=2t2- 8，)432(44)3284)(41(22222tttttAB由21tkkkMPMPAB，得)2(2xttyMP：，令0y时，得)04( ，M，2224)0(
2、)24(ttMP，于是 SMAB228)4(2121ttMPAB令28tm，则mmmmS621)12(2132，20200)2)(2(236232mSmSmmmS 当2m时， (SMAB)max=8，此时42t二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分114 123713208 146 15三、解答题：本大题共6 小题，共75 分16 解： ( ) 由题意有120)005. 0015.002.0(x，解得01.0 x 低于 60 分的频率为3. 02001.020005.0， 被抽查的学生有203.06人，即 n=204 分( ) 由( )知，4020，分数组的学生有2)2000
3、5.0(20人，6040，分数组的学生有 4 人，记这 6 人分别为1a、2a，1b、2b、3b、4b(a、b表示不同分类组) ，从中随机选取2 人，不同的选法有：1a2a、1a1b、1a2b、1a3b、1a4b、2a1b、2a2b、2a3b、2a4b、1b2b、1b3b、1b4b、2b3b、2b4b、3b4b共 15 种，9 分2 人在同一分数组的选法有：1a2a、1b2b、1b3b、1b4b、2b3b、2b4b、3b4b共 7 种，11 分 2 人在同一分数组的概率157P12 分17( )证明： 连接 B1C 交 BC1于 O，连接 OD O，D 分别为 B1C 与 AC 的中点，OD
4、为 AB1C 的中位线，OD/AB1又 AB1平面 BDC1，OD平面 BDC1，AB1/平面 BDC15 分（） 解： 连接 A1B，作 BC 的中点 E，连接 DE，如图 A1C1=BC1， A1C1B=60o， A1C1B 为等边三角形 侧棱 BB1底面A1B1C1， BB1A1B1，BB1 B1C1， A1C1=BC1=A1B=21211BBBA=22 7 分在 Rt BB1C1中， B1C1=2121BBBC=2，于是， A1C12= B1C12+A1B12， A1B1C1=90o，即 A1B1B1C1， A1B1面 B1C1CB又 DE /AB/A1B1， DE面 B1C1CB，即
5、 DE 是三棱锥D-BCC1的高9 分DESVBCCBCCD1131=ABBCBC2121311=221222131=32321111111BBSVVVCBACBCDABCCBA322)2221(=31012 分18 解：( ) 由图象知，2126561A，故312161b，26322T，即T，于是由2，解得2A1B1C1CBADOE6131)62sin(21，且)22(，解得631)62sin(21)(xxf 4 分由22k62x22k，Zk，解得3kx6k，Zk，即)(xf在 R 上的单调递增区间为Zkkk，636 分( ) 由条件得：031)62sin(21)(00 xxf，即32)62
6、sin(0 x0)0()6(ff且)(xf在)60( ，上是增函数，61)6(f0，3143)4(f0，)(xf在)46(，上是减函数，)60(0，x，)26(620，x， 9 分35)62(sin1)62cos(020 xx， 10 分6)62cos(2cos00 xx6sin)62sin(6cos)62cos(00 xx6215 12 分19 解： ( ) 设数列 an公差为 d，由题设得，43622331413daadaS解得，111da 数列 an 的通项公式为：nan( nN* ) 5 分( ) 由 ( ) 知：，*12222NNkknnkknbnn6分当n为偶数，即*2Nkkn，时
7、，奇数项和偶数项各2n项，)2222()1(262642nnnT3432221)2(122)222(2222222nnnnn；9 分当n为奇数，即*12Nkkn，时，1n为偶数34322) 1(23422) 1(1213211nnnnnnnnaTT综上：，*12*221234322)1(234322NNkknnkknnTnnn12 分20 解： ( ) 设椭圆的半焦距为c，则 c=1又由 e=33ac，可解得a=3， b2=a2- c2=2， 椭圆的标准方程为12322xy3 分( ) 设过焦点F1的直线为 l若 l 的斜率不存在，则A( 0，-3) ，B( 0，3) ，即 |AB|=23，显
8、然当 N 在短轴顶点 ( 0，2) 或( 0，2) 时， NAB 面积最大，此时， NAB 的最大面积为6232215 分若 l 的斜率存在，不妨设为k，则 l 的方程为1kxy设)()(2211yxByxA，联立方程：，123122xykxy消去y整理得：044)32(22kxxk，324221kkxx，324221kxx，则32)1(34122212kkxxkAB7 分 当直线与l 平行且与椭圆相切时，此时切点N 到直线 l 的距离最大，设切线)2(:mmkxyl，联立，12322xymkxy消去x整理得：0624)32(222mkmxyk，由0)62)(32(4)4(222mkkm，解得
9、：)3(3222mkm9 分又点P到直线l的距离112kmd，32113232) 1(3411212122222kkmmmmnMNdSPMN，2S2222)32() 1() 1(12kkm10 分将3222km代入得：)11()11(6222mmS令)033(1，mt，设函数)1()1(6)(22tttf，则)12()1(12)(2tttf， 当 t)2133(，时，)(tf0，当 t)021(，时，)(tf0，即)(tf在)2133(，上是增函数，在)021(，上是减函数881)21()(minftf，故212k时， NAB 面积最大值是42912 分显然4296， 当 l 的方程为122x
10、y时， NAB 的面积最大，最大值为42913 分21 ( ) 解： 1ln)(xxf，21ln)(eefk又eef)(，)(xf在点)(efe，处的切线方程为：)(2exey，即02eyx3分( ) 解：)()()(xgxfxh=)00(lnlnbaabxxx，bxxhln1ln)(，由0)(xh解得bex1，由0)(xh解得bex10， 函数)(xh的单增区间是)1(，be，函数)(xh的单减区间是)10(be， 6分( ) 证明 ：由)(0 xf)(0 xg可变为abxx00ln0令abxxxpln)(，534babax，则1ln)(bxxp由0)(xp可得ebx，由0)(xp可得ebx
11、0，所以)(xp在)0(eb，单调递减，在)(，eb单调递增7 分根据题设知：534baba，可解得)70( ，ab若53baeb，即)753，eeab时，)(xp在534baba，单调递减，abbababapxp53ln53)53()(min 0，即ababab3553ln0 对)753，eeab恒成立令t)753，eeab，ttttq3553ln)(0，则0)3(98)(2ttttq，即)(tq在)753，ee上是减函数；则052)53()(maxeeeqtq，所以对任意)753，eeab，ababab3553ln0 成立10 分当534baebba，即)534(eeeeab，时，当且仅当aeebebpxp1ln)()(min0，即abe，此时)53eeeab，11 分当4baeb时，即)40(eeab，时，)(xp在534baba，上单调递减，abababapxp4ln4)4()(min0，令t)40(eeab，即tttt1441ln)(0 恒成立因为0) 1(15)(2tttt，所以)(t在)40(ee，上是减函数，故存在无数个)40(0eet，使得0)(0t，如取0221ln) 1(10，t与)(t0 恒成立矛盾，此时不成立综上所述， eab714 分
