本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！1 精品文档，欢迎下载！2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8 小题，每小题4 分，满分 32 分）（1）若函数0, 0,cos1)(xbxaxxxf在0 x处连续，则（）)(A21ab)(B21ab)(C0abD(2ab答案】)(A【解】aaxxfx21cos1lim)00(0，bff)00()0(，因为)(xf在0 x处连续，所以)00()0()00(fff，从而21ab，应选)(A2）二原函数)3(yxxyz的极值点为（）)(A)0 ,0()(B)3 ,0()(C)0 ,3()(D)1 , 1(答案】)(D【解】由023,02322xxyxzyxyyzyx得0,0yx1, 1yx3,0yx0,3yxyzxx2，yxzxy223，xzyy2，当)0 ,0(),(yx时，092BAC，则)0,0(不是极值点；当)1 , 1(),(yx时，032BAC且02A，则)1 , 1(为极大点，应选)(D3）设函数)(xf可导，且0)()(xfxf，则（）)(A)1()1 (ff)(B) 1()1(ff。
)(C|)1(|)1 (|ff)(D|) 1(|) 1(|ff答案】)(C【解】若0)(xf，则0)(xf，从而0)1()1(ff；若0)(xf，则0)(xf，从而0)1()1 (ff，故| )1(|)1(|ff，应选)(C本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！2 精品文档，欢迎下载！（4）若级数2)11ln(1sinnnkn收敛，则k（）)(A1)(B2)(C1)(D2答案】)(C【解】)1(6111sin33nonnn，由)(2)1ln(22xoxxx得)1(211)11ln(22nonnn，于是)1(21) 1()11ln(1sin22nonknknkn，由2)11ln(1sinnnkn收敛得1k，应选)(C5）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）)(ATE不可逆)(BTE不可逆)(CTE2不可逆)(DTE2不可逆答案】)(A【解】令TA，AA2，令XAX，由0)()(22XXAA得02，0或1，因为nTAtr11)(得A的特征值为1,011nn，TE的特征值为0, 111nn，从而0|TE，即TE不可逆，应选)(A6）已知矩阵200020001,100020012,100120002CBA，则（）)(AA与C相似，B与C相似。
)(BA与C相似，B与C不相似)(CA与C不相似，B与C相似)(DA与C不相似，B与C不相似答案】)(B本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！3 精品文档，欢迎下载！【解】CBA,的特征值为1,2321，由1001000002AE得1)2(AEr，则A可相似对角化，从而CA ；由1000000102BE得2)2(BEr，则B不可相似对角化，从而B与CA,不相似，应选)(B7）设CBA,为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则BA与C相互独立的充分必要条件是（）)(AA与B相互独立)(BA与B互不相容)(CAB与C相互独立)(DAB与C互不相容答案】)(C【解】)()()()()(ABCPBCPACPBCACPCBAP)()()()()(ABCPCPBPCPAP，)()()()()()(CPABPBPAPCPBAP)()()()()()(CPABPCPBPBPAP，BA与C独立即)()()(CPBAPCBAP的充分必要条件为)()()()()()()()()()()(CPABPCPBPBPAPABCPCPBPCPAP，或)()()(CPABPABCP，即AB与C独立，应选)(C。
8）设nXXX,21（2n）为来自总体)1 ,(N的简单随机样本，记niiXnX11，则下列结论正确的是（）)(AniiX12)(服从2分布)(B21)(2XXn服从2分布)(CniiXX12)(服从2分布)(D2)(Xn服从2分布本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！4 精品文档，欢迎下载！【答案】)(B【解】若总体),(2NX，则)()(12122nXnii，)1()(12122nXXnii，因为总体) 1 ,( NX，所以)()(212nXnii，)1()(212nXXnii，再由)1,(nNX得) 1 ,0()(1NXnnX，从而)1()(22Xn，不正确的是)(B，应选)(B二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分 24 分）（9）_)(sin223dxxx答案】23【解】dxxdxxdxxx022222232)(sin2cos2cos2320222022sindttdtttx10）差分方程tttyy221的通解为_答案】tttC2212【解】021ttyy的通解为ttCy2；设tttyy221的特解为taty2，代入得21a，故tttyy221的通解为ttttCy2212。
11）设生产某种产品的平均成本为QeQC1)(，其中Q为产量，则边际成本为_答案】QeQ)1 (1【解】平均成本为QeCQC1)()(，总成本为本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！5 精品文档，欢迎下载！eC)(，边际成本为QeC)1 (1)(12）设函数),(yxf具有一阶连续的偏导数，且dyeyxdxyeyxdfyy)1 (),(，0)0 ,0(f，则_),(yxf答案】yxye【解】由)()1(),(yyyxyeddyeyxdxyeyxdf得Cxyeyxfy),(，再由0)0,0(f得0C，故yxyeyxf),(13）矩阵110211101A，321,为线性无关的三维列向量组，则向量组321,AAA的秩为_答案】 2 【解】321321,),(AAAA，因为321,线性无关，所以321,可逆，从而)(),(321ArAAAr，由000110101A得2)(Ar，故向量组321,AAA的秩为 214）设随机变量X的概率分布为bXPaXPXP3, 1,212，若0EX，则_DX答案】29【解】031baEX，再由121ba得41ba，2941341121)2(2222EX。
三、解答题本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！6 精品文档，欢迎下载！（15） （本题满分10 分）求300limxdtetxxtx解】xuxxuxutxxtdueuedueudtetx000，则300300300limlimlimxdueuxdueuexdtetxxuxxuxxxtx3223lim0 xexxx16） （本题满分10 分）计算积分dxdyyxyD2423)1 (，其中D是第一象限中曲线xy与x轴边界围成的无界区域解】dyyxydxdxdyyxyxD0242302423)1()1(dyyxydxydyxydxxx022202024220)1(21)()1 (21)21111(41)21111(410202022dxxdxxdxxx)211(8)2212(41 )2()2(1121|arctan41020 xdxx17） （本题满分10 分）求nknnknk12)1ln(lim解】10112)1ln()1ln(1lim)1ln(limdxxxnknknnknknknnkndxxxxxxdx10210210211)1(21|)1ln(21)()1ln(21412ln2121412ln21)111(212ln2110dxxx。
18） （本题满分10 分）已知方程kxx1)1ln(1在区间) 1 ,0(内有实根，求k的范围解】令xxxf1)1ln(1)(，本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！7 精品文档，欢迎下载！)1(ln)1()1(ln)1 (1)1 (ln)1(1)(222222xxxxxxxxxxf，令22)1(ln)1()(xxxxg，0)0(g，xxxxg2)1ln(2)1(ln)(2，0)0(g，01)1ln(22121)1ln(2)(xxxxxxxg，由) 10(0)(,0)0(xxgg得0)(xg（10 x） ；再由)10(0)(, 0)0(xxgg得0)(xg（10 x） ，即0)(xf（10 x） ，因为21)1ln()1ln(lim)(lim00 xxxxxfxx，12ln1)1(f，即21)(12ln1xf，故2112ln1k19） （本题满分10 分）若0, 110aa，)(1111nnnanana（,3 ,2, 1n） ，)(xS为幂级数1nnnxa的和函数1）证明：1nnnxa的收敛半径不小于1，并求)(xS2）证明0)()()1 (xxSxSx（)1 , 1(x） ，并求)(xS。
证明】（I）由0, 110aa得10na由)(1111nnnanana得11)1(nnnanaan，令nnnab，nnnnbabb11，即nb单调增加，若nb有上界，则Abnnlim，从而1lim|lim11nnnnnnbbaa，幂级数1nnnxa的收敛半径为1R；若nb无上界，nnblim，本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！8 精品文档，欢迎下载！由nnnnnnnnnnnnnnnnaanaanbababbb11111lim)1(limlim1limlim得1lim1nnnaa，故级数1nnnxa的收敛半径1RII）1)(nnnxaxS，11)(nnnxnaxS，11111)1()()1(nnnnnnnnnxnaxnaxnaxxSx121121)()1(nnnnnnnnnnnnnxnaxanaxnaxan12111212nnnnnnnnnnnnnnnnnnxnaxaxnaxnaxaxna)(11121xxSxaxxaxannnnnnnnn，即)(xS满足0)()()1(xxSxSx由0)()()1(xxSxSx得0)()111()(xSxxS，解得xCeCexSxdxx1)()111(，再由1)0(S得1C，故xexSx1)(。
20） （本题满分11 分）设 3 阶矩阵),(321A有三个不同的特征值，且2132I）证明：2)(Ar（II）若321，求方程组AX的通解证明】（I）设A的特征值为321,，因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得3211APP，因为321,两两不同，所以2)(Ar，本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！9 精品文档，欢迎下载！又因为2132，所以321,线性相关，从而3)(Ar，于是2)(ArII）因为2)(Ar，所以OAX基础解系含一个线性无关的解向量，由321321, 02得AX的通解为111121kX（k为任意常数）21） （本题满分11 分）设二次型3231212322213212822),(xxxxxxaxxxxxxf在正交变换QYX下的标准型为222211yy，求a的值及一个正交矩阵解】aA14111412，321xxxX，AXXxxxfT),(321，因为03，所以0| A由0)2(314111412|aaA得2a由0)6)(3(214111412|AE得0, 6, 3321由0001101015141214153AE得31对应的线性无关的特征向量为1111；由0000101014141714146AE得本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！10 精品文档，欢迎下载！62对应的线性无关的特征向量为1012；由0002101010AE得03对应的线性无关的特征向量为1213。
规范化得111311，101212，121613，故正交矩阵为61213162031612131Q22） （本题满分11 分）设随机变量YX ,相互独立，2121。