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1、创设问题情境 构建问题探究函数的概念教学案例设计江苏省淮阴中学 蒋行彪一. 设计意图 函数是本章的核心概念,也是中学数学中的基本概念。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数。函数的思想方法将贯穿整个高中数学课程，但也比较抽象难懂，所以本节课从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情景-教学活动-意义建构-数学理论-数学应用-回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析、解决问题，在问题引入时以生活中的实例为背景，引出描述两个变量之间依赖关系的必要性，上承集合，下引函数。三个问题的描述方法各不相同，与函数的三种表示方法相对应
2、。通过背景设计激发学生在集合的基础上研究两个变量之间关系的欲望和兴趣。而例题的设计也从函数三种表示方法以及函数的三要素的应用去理解函数概念。二学习目标：1知识与技能 通过本节知识的学习，我们将感悟函数概念的产生背景和产生过程，从而激发我们探索问题的兴趣，掌握函数概念的实质。2过程与方法 本节内容通过三个具体问题的分析，在体会两个变量相互依赖的基础上，引导我们用集合的语言刻画函数概念，然后通过具体例题，思考、探究、练习中的问题，从三个层次理解函数的概念：函数定义 ，函数符号，函数三要素。3情感、态度与价值观 通过本节知识的学习，将培养我们观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的探究能力，进一步培
3、养我们学习数学的兴趣。三重难解读重点：1.对函数概念的理解2.函数符号y=f(x) 的含义难点：理解函数的三个要素四学法指导函数的概念及其相关知识点较为抽象，难以理解，学习中应注意以下问题：1类比生活中的单值对应与数学中的函数的联系，找到它们对应的共同点。2学习时，注意函数的思想在数学中的广泛的渗透性。3高考对于定义域，值域往往是通过函数性质，函数应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点。五教学内容问题引入：在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：（1）估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数
4、据资料如表2-1-1所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？ 表2-1-1 1949 - 1999 年我国人口数据表年 份19491954195919641969197419791984198919941999人口数/百万5426036727058079099751035110711771246（2）一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9x2。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？（3）图2-1-1为某市一天24小时的气温变化图。（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？（2）在什么时刻，气温为0oC？（3）在什么
5、时段内，气温在0oC以上？探究问题一:什么是函数?函数的要素有哪些?如何理解函数的要素? 根据引例回答下列问题:1.请同学们回忆初中函数的定义内容?2.如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同特点?答: 1.在某一变化过程中，对于两个变量x、y，在一定范围内的每一个确定的x的值都有唯一的一个y的值与之对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。答：2. a、每一个问题均渉及两个非空的数集A、B。b、存在某种对应法则，对于A中任意的x，B中总有唯一的一个元素y与之对应。问题1：函数的有关概念?1.定义:一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x，在集合B
6、中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数 记作：y=f(x),xA2.定义域:所有自变量x的值组成的集合A3.值 域:所有因变量y的值组成的集合(或者所有函数值组成的集合)问题2：函数概念的理解?例1. 观察下列几组从A到B的对应,指出哪些对应是函数?哪些不是?是函数的指出其定义域与值域。（1）（2）（4）（3）（5）解：(1)是 满足函数的定义,定义域为,值域为.(2)是 满足函数的定义, 定义域为,值域为.(3)不是 4有两个元素b、c与之对应(4)不是 4没有元素与之对应(5)是 满足函数的定义, 定义域为,值域为.例2 判断下列对应是否为函数:(1) x (2) x
7、 y,其中y2=x,(3) x y,其中(4) 已知集合A=R,B=-1,1,对应法则f: 当x为有理数时,f(x)=-1;当x为无理数时,f(x)=1,对应 f: A B分析：(1) 是 满足函数的定义(2) 不是 因为不是任意的自变量的取值都是有唯一的应变量的值与之对应，如当x=l时则有y=1或y=-1与之对应。(3) 不是 因为自变量的取值集合为空集。(4) 是 满足函数的定义，x为有理数时都唯一对应-1，x为无理数时都唯一对应1。例3 在下列图象中，请指出哪一个是函数图象，哪一个不是，并说明理由（2）（1）（4）（3） 解：(1) 不是 不是任意的一个x都有唯一的y与之对应，如x=0时
8、有y=1或y=-1与之时对应。(2) 是 满足函数的定义 ，因为任意的一个x都有唯一的y=1与之对应。(3) 不是 不是任意的一个x都有唯一的y与之对应 。如x=0时有y=1或y=-1与之时对应。(4) 不是 不是任意的一个x都有唯一的y与之对应。 探究小结1:(1) 函数概念中的关键词是什么?(2) A、B非空数集 任意的xA，存在唯一的yB与之对应(2) 函数的三要素是什么？定义域对应法则值域探究问题2：两个函数相同需满足的条件是什么？例4、下列两个函数是否表示同一个函数(1)f()=,g(t)=(2) (3) (4) ， ，解：(1)是 因为=|t| 与f(x)=|x|定义域、对应法则、
9、值域均相同，只是自变量的字母不同而已。(2)不是 因为f(x)的定义域为,而g(x)定义域为R。(3)是 因为f(x)=x与g(x)=x定义域、对应法则、值域均相同。(4)不是 因为它们的对应法则不同。 问题3:(1)两函数定义域相同、值域相同，这两函数相同吗?(2)两函数定义域相同、对应法则相同，这两函数相同吗?(3)两函数对应法则相同、值域相同，这两函数相同吗?探究小结2:两个函数相同的条件是:两函数的三要素相同或者两函数的定义域和对应法则相同本课总结： 知识内容:(1)函数的定义 (2)函数的三要素 (3)两函数相同的条件思想方法:(1)数形结合思想 (2)利用举反例来证明命题是错误的方
10、法探究方式:(1)从特殊到一般逐步探索，从而解决新问题(2)从己有知识中利用对比、迁移的方式来解决新问题六.教后反思为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本课采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，在不同的场合考察问题的不同侧面，由浅入深。本课在教学时采用问题探究式的教学方法进行教学，逐层深入，这样使学生对函数概念的理解也逐层深入，从而准确理解函数的概念。函数引入中的三个问题,既与初中时学习函数内容相联系,又蕴含了函数的三种表示方法-列表法、解析法、图象法，这样起到了承上启下的作用。这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础。同时前三个例题也是这么设计的。在培养学生的能力上，本课也进行了整体设计，通过探究、思考，培养了学生的实践能力、观察能力、判断能力;通过揭示对象之间的内在联系，培养了学生的辨证思维能力;通过实际问题的解决，培养了学生的分析问题、解决问题和表达交流能力;通过案例探究，培养了学生的创新意识与探究能力。虽然函数概念比较抽象，难以理解，但是通过这样的教学设计，学生基本上能很好地理解了函数概念的本质，达到了课程标准的要求，体现了课改的教学理念。6
