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1、数学符号运算 20022-1-4第2章 Mathematica4.0软件包初等数学部分 本章主要介绍Mathematica4中与初等数学有关的各种命令。例2-1 求近似值。例如圆周率Pi，我们在Mathematica4中输入以下四种命令就将得到三种不同的结果：Pi 显示结果Pi / N 显示结果的16位近似数N Pi 显示结果的16位近似值（包括整数位）N Pi, 200 显示结果的200位近似值（包括整数位）注：NPi 给出Pi的16位小数近似值（包括整数位），屏幕只显示小数点后面5位，如果将结果复制一下，就会看见16位小数近似值。另外，N Pi，m 给出指定的m位Pi的近似值。类似地有 N
2、 E，80 等等。例2-2 求一个数x的绝对值： Abs x 例2-3 （1）关于分数和分式 通分：（1/2）+（1/3） 比较：（1/2）+（1/3）/N 命令Together f 表示将表达式f通分；Apartf 表示将有理分式f写为不可约分式之和。例如：Cancelf 表示消掉有理分式f的公因子；ExpandAllf 表示将有理分式f的分子分母都展开为多项式；ExpandNumeratorf 表示将有理分式f的分子展开为多项式；ExpandDenominatorf 表示将有理分式f的分母展开为多项式；（2）多项式的展开。命令与格式如下：其中Expand f 表示将多项式f展开为级数形状；
3、Coefficient f, x5 表示求多项式f中x5的系数。运行之后得到结果：（3）多项式的因式分解。命令与格式如下：f = 1 + 2x + x2;Factor f 运行之后得到结果：（1 + x ）2例2-4 求阶乘。直接输入 n!求组合数。输入以下命令： Binomial n, k 求多元组合数 。输入以下命令： Multinomial r1, r2, , rn 例如，下面的多元多项式的展开式中就会用到多元组合数：我们可以输入以下命令求其中某一项的系数，比如： 运行之后就得到的系数：183783600例2-5 求和的公式。输入以下命令，运行之后得到结果：例2-6 验证不等式是否为真。
4、执行下列程序若得到结果“ True”就表示此不等式成立，若得到结果“ False”就表示此不等式不成立。例2-7 求解不等式或不等式组第一步 打开子程序包 AlgebraInequalitySolve第二步 InequalitySolve 得到此不等式的解集：其中两个竖线表示集合的并。又一例子：第二步 InequalitySolve 其中&表示集合的交。执行后得到此不等式组的解集：注：InequalitySolve命令只能求解多项式类型的不等式或不等式组。例2-8 求解代数方程及方程组。执行并比较以下几个命令：（1）Solve命令 注：Solve命令只能求解多项式类型的方程或方程组。（2）So
5、lveAlways命令SolveAlways a x + y + z = 1, x + a y + z = a, x + y + a z = a2 , x, y, z 执行后得到： 表示解是空集。（3）Reduce命令Reduce a x + y + z = 1, x + a y + z = a, x + y + a z = a2 , x, y, z 表示用消元法求以上线性方程组的所有可能的解。（4）Eliminate命令Eliminate x + 2a = 1, -2x + y =9 , a 表示在方程组中消去参数a，得到结果：-9 + y = 2x又一个例子：表示在方程组中消去参数x，运行
6、之后得到结果：-y + y 2=0例2-9 求解超越方程及方程组第一步 先画图观察第二步 求出数值近似解PlotLog10,x-Sinx,x,0,10FindRootLog10,x-Sinx=0,x,2.5FindRootLog10,x-Sinx=0,x,7.5FindRootLog10,x-Sinx=0,x,8.1例2-10 求一个数x的近邻整数值Roundx 求距离x最近的整数值；Ceilingx 求距离x最近的、且大于x的整数值；（比较 x = -1.5, 1.5, -1.4, 1.4 时的区别）例2-11 求递归关系式。第一步 进入子程序软件包 - C1 + 22+n ( C1 + 2
7、C2 ) 其中C1、C2是待定常数。或者求解具有起点的递归关系式。输入以下命令：RSolve a n = 3a n-1 - 2a n-2 , a 0 = 1, a 1 = 2 , a n , n 运行之后得到结果： a n - 2n 例2-12-1 （1）求序列2n从n = 1到n = 15的值。输入以下命令： Table n, 2n , n, 1, 15 （2）求斐波那契（Fibonacci）数列Fibonaccin 从n = 1到n = 50的值。输入以下命令：Table n, Fibonacci n , n, 1, 50 例2-12-2 Fibonacci预测（神秘数字预测）Fibona
8、cci ( Leonado Pisano Fibonacci, 1170 - 1250 )预测在港、台金融界称为神秘数字预测，在欧美叫螺旋历法（ Spiral Calendar ），此方法在金融预测方面比较流行，请大家批判性的了解以下内容。记Fibonaocci数列为F1=1,F2=1, Fn = Fn-1 + Fn-2 ( n 3 )。美国人Carolan创立螺旋历法，令投资理论界大为震惊，此方法主要以月球周期为计算的基础，类似中国的阴历。在此方法中，月球周期Y = 29.53天，用它来计算重大事件的转折点（此方法主要用在政治和经济领域）。方法如下：从一个重大事件发生的日期开始，对任何n 1
9、，天后，都有可能发生重大转折。例2-12-3 1917年11月7日，俄国共产党攻占圣彼得堡的冬宫，天后有可能为转折点，即1991年8月8日，实际上1991年8月19日苏联发生政变，随后苏共下台，苏联解体。程序如下：MiscellaneousCalendarTableDaysPlus1917,11,7,Ceiling29.53SqrtFibonaccin,n,1,50例2-12-4 1945年5月7日，德国在二战中被打败，宣布投降，从此一分为二，东德被苏联统治，西德被美国统治。天以后，即1990年12月5日可能为转折点，实际上1990年12月2日是东西德统一后的第一个大选日，乃实际上的统一。另外
10、，德国由分裂到统一的时间，刚好是苏联共产党掌权时间的0.618倍。例2-12-5 柏林墙建于1961年8月12日，拆于1989年11月9日，近似等于天以后，只差27天。另外，柏林墙存在的时间约为德国分裂时间的0.618倍。例2-12-6 美国道.琼斯工业股票指数的预测。美国人Carolan将螺旋历法用于预测金融市场的转折点，效果奇佳。1927年4月1日，是春分后的第一个新月，两年半后（），即1929年10月11日见顶，随后走入股灾，于1929年10月29日走到股灾底部， 天以后，即1935年1月19日（冬至后的月圆），股市开始反转。例2-12-7 1985年3月21日，为春分及新月之日，两年半
11、后（），即1967年10月2日见顶2746点，随后走入股灾，于1987年10月20日走到股灾底部1616点， 天以后，即1993年1月8日（冬至后的月圆），股市开始反转。例2-12-8 国际外汇市场英镑的预测1。对英镑来说，要反向预测（因为在国际外汇市场上，英镑的报价与大多数币种相比是反的）。从1995年3月15日（春分前的月圆）开始，逆向反推。以前是1991年2月5日，实际上1991年2月6日高见2.0045点后大幅下跌，1991年7月5日见底1.5990，下跌近4000点。例2-12-9 国际外汇市场英镑的预测2。以前是1991年12月23日，3天后1991年12月26日于1.8900见顶
12、后大幅下跌，1992年3月20日见底1.6975，下跌近2000点。例2-12-10国际外汇市场英镑的预测3。以前是1992年8月31日，2天后1992年9月2日于2.0100见顶后大幅下跌，见底1.4000，下跌近6000点。在Mathematica4软件包中编程如下：Table n, Ceiling 29.53 , n, 1, 50 运行后得到如下结果：其中每一项的第二个分量表示天数。若想每一项的第二个分量表示年数，则输入以下命令： Table n, Ceiling 29.53/ 365 , n, 1, 50 运行后得到如下结果：例2-13 线性方程组的求解与应用。据说吕洞宾、铁拐李、汉钟
13、离、张果老、何仙姑、蓝采和、韩湘子和曹国舅这八仙去朝见观音。观音菩萨拿出6720个仙桃招待八仙。每人分得一些桃子后，观音说：请吕洞宾拿出他分得的桃子的一半给铁拐李；然后，请铁拐李拿出他所有桃子的1/3给汉钟离；然后，请汉钟离拿出他所有桃子的1/4给张果老；然后，请张果老拿出他所有桃子的1/5给何仙姑；然后，请何仙姑拿出她所有桃子的1/6给蓝采和；然后，请蓝采和拿出他所有桃子的1/7给韩湘子；然后，请韩湘子拿出他所有桃子的1/8给曹国舅；然后，请曹国舅拿出他所有桃子的1/9给吕洞宾。最后，每人840个桃子。问：刚开始他们每人分得多少桃子？解：由题义，得到线性方程组如下：一般使用倒推法求解：最后每人840个桃子；在此之前，曹国舅拿出1/9送给了吕洞宾，所以，曹国舅有840/（1-1/9）=945个桃子，而吕洞宾有840-（945-840）=735个桃子，其他人840个桃子；在此之前，韩湘子拿出1/8送给了曹国舅，所以，韩湘子有840/（1-1/8）=960个桃子，而曹国舅有945-（960-840）=825个桃子，除吕洞宾735个桃子外，其他人840个桃子；如此类推，最后得到刚开始每人分得桃子如下：吕洞宾14
