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1、i 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使= :1 1解：(1)因为/在亲连续，在/可导,且如所以由吩定理,北 w(0,-)使得/)= 。f(x) = 1X0 z(2)因为因为1一1兀 m，则 /(/?)/() + tz)(2) 若函数/在 S，饲上可导，且 I 厂(x)$M，则 |/(Z?)-/(tz) m(b - a),从而有f(b) f(a) + m(b - a)(2) 因为 I 门兀)|5M,所 W | f(b) - /(a) |=| /) -b-aM(b-a)(3) 不妨设兀1勺，正弦函数fM = sinx在州，兀2上连续，在3,兀2)可导，于是 3g (a, b),使得 I s
2、in x, -sinx2 HcosMXj -x2 |x2 一兀|5. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) h a a ,其中 0 a b证：设fM = lnxy则/在a, b 连续且可导，所以/在上满足Lagrange中值定 理的条件，于是氐(讥),使得In = lnb-lna =-a) = (b-a)a,因为 0b-ab-ab-a所以9 a ,h-a t h h-a In 从而b a a arctan h0ffi：设/(X)= arctan *，则f在【，加上满足Lagrange中值定理的条件，于是北丘(，力, 使得/harctan h = arctan h - arctan 0 =
3、 /()( -0)=1+孑。因为 0 vgv/2,h h上 arctanhh从而1 + /ro6. 以S(兀)记由(aj(d),(x,/(x)三点组成的三角形面积,试对S(兀)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证:因为S(兀)a /(g) 1b f(b) 1x /(兀)i,若/(兀)在as连续在(a,b)可导,则易见S(x)也在S，创连续，在(d,b)可导，且S(d) = S) = 0. 故由罗尔定理知，存在央(小,使得S) = 0.而a5z(x) = - h21f(b)11 =*广(兀)9-a)-(/&)-/)7.证明：设f(x)为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根。则
4、方程fx) = 0至 少有一个实根。证明：设方程/(x) = 0的n+1个相异实根为x,x2x3兀”+对/(%)在每个区间母，无+i 伙=1，2,斤)上应用罗尔中值定理知，存在使T(L) = 伙= 1，2,V)即/) = 0至少有n个相异实根。再对/)在 n-1个区间饥,二知J上应用罗尔中值定理，存在鼻丘(使厂(2) = 0伙= 1,2,山-1)即广(兀)=0至少有个相异实根。 重复以上做法知，r(x) = 0至少有n2个相异实根，/()(/) = 0至少有1个实根。8.设函数/在切上可导，证明：存在丘(a, b),使得2f(b)-f(a) = (b2-a2)f)证：设尸=“他-f(a)-(b
5、2-a2 )/(x),则F(兀)在d,b上连续并可导，且 F(a) = a2f(b)-b2f(a) = F(h)f 由Rolle定理,存在 Z),使得尸 = 2的的一/()一(胪-/)厂 = 0,从而 2f(b)-f(a) = (b2-a2)f9.严 00时成立。设F(x) = f(a + x) + f(a-x),G(x) = x2,当 h 充分小时，F (x)和 G (x)在0, h上连 续，(0, h)内可导，G(x) = 2xh0,由柯西中值定理知f(a + h) + .f-h)-2f(a)=弘)(0) = F_ = / + ) + /-)h2一 G(/?) G(0) G2其中0vv/z
6、再对耳(x) = f(a + x) + f(a 一兀)在0, 上应用拉格朗tl中值定理，得他+)+fj 一 )_ 耳 E(0)_ FG)_ 厂+G+厂(Q即尹中 *2 2 2 /?取&二旦则0&0,3A0,Vx A|/(x) + fx) A ,由Cauchy中值定理有 丫)-丫)二雲 Avg(显然g)h0)或 G(x) G(A) Gf(x)-f(A)eAx f(x)ex - f(A)eA或f(x)| A,V4=_X 与幺i A f(x) v |/(A) + 2 即 lim /(x) = 0.I1XT+oo1 2设abc,/(x)在a.c上有二阶导数/(兀),试证3g (a,c),使得/(d)M
7、b)/(c)(a b)(a c) * (b-aXb-c) + H = I厂=(x-b)(x c)/(a) * Cr-a)(x-c)/(b)十(x a)(x b)/(c) _(a-b)(a-c)(b -a)(b- c)(c 一 a)(c 一 b)则 F(x)在a,c上二阶可导,且 F(a) = F(b) = F(c) = 0.对 F(x)在a,b, 0,c 上分别应用Rolle定理，M岸(a,b)6w,c),使F) = 0F) = 0 对 尸(兀),由于F)在,金上可导9再用Rol le定理，北巳6,Elude),使 得尸 = 0.而严=2/*2他* _2/()_ 一炸)(a-h)(a-c) (b - a)(b - c) (c_a)(c_Z?)令兀二即得所求证的等式。13 试证 sin 1 = cos In f, 1 v f v 匕(提ZF：令F(x) = sin In x, G(x) = nx.在1,刃上满足Cauchy中值定理条件。 从而可证)
