经全ED中小学教材审定委员会 2005年初审通过普通高中课程标准实验教科竹几何证明选讲人民教育也版社诛程教材研究所纺.护中学数学敦材实验研究组《平行线分线段成比例定理》♦教材分析本节内容是继平行线等分线段成比例定理之后的内容也是本章的重点它是研究相似三角形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来证明科六诩左 iFLYTEK♦教学目标【知识与能力目标】1、 了解平行线分线段定理产生的背景，体验定理的产生过程;2、 探索并理解平行线分线段定理的证明过程；3、 能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2；4、 能应用定理和推论解决相关的儿何计算问题和证明问题；【过程与方法目标】3、 培养学生化归的思想、运动联系的观点情感态度价值观目标】4、 感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验♦教学重难点【教学重点】掌握平行线分线段定理以及推论教学难点】 定理和推论的应用♦课前准备卬有等距离平行线的作业纸、多媒体课件♦教学过程一、复习引入问题1:请同学们回忆一下平分线等分线段定理？学生：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 相等问题2：请同学们回忆一下平分线等分线段定理两个推论？学生：推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2经过三角形一边的小点与另一边平行的直线，必平分第三边问题3：请同学们回忆一下平行线等分线段定理的应用： 学生：1、将线段n等分;2、证明同一直线线段相等;二、新课引入问题1:如何不通过测量，运用所学知识，快速将一条反5厘米的细线分成两部分, 使这两部分Z比是2:3?学生：如右图所示，根据平行线等分线段定理可知B平分线段2:3 提出疑问平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离 相等问题：一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等，结论如何？提出疑问如图所示:三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果？问题1：若器那么罟二？学生：34问题2:若AB~BC学生：I泄理推导问题1:我们能否做出辅助线利用平分线等分线段定理证明？学生：设线段AB的中点为P：,线段BC的三等分点为P2、P3.分别过点Pl, P2, P3作直线ai, a2, a3平行于1】,与1/的交点分 别为 Ql,Q2, Qa.问题2：我们能否利用平分线等分线段定理求出结论？DQl=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3FAB = DE = 2BC = EF =3 定理推导 问题：除此Z外，还有其它对应线段成比例吗? 冲 AB = DE BC = EF了生：AC~DF AC~DF问题：以上三个等式有哪些变形？ 学生：化％变形为化BC BC EF DE EFABAC ==竺变形为坐「EF变来为BC_AC DF DE DF AC~ DF "力 EF - DF三、提出定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2)图形语言：如图11//12//13,则有：AB = DE AB 二 DE BC = EFBC = EF ；AC = DF ZAC = DF *和弋有 AB_BC AB_ AC BC _ AC 殳式伺 DE= EF，DE = DF 'EF = DF定理说明“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段，如图中AB和DE；而“对应线段成比例”是指同--条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线 上的两条线段的比.定理辨析问题：平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何异同?学生：后者是前者的一种特殊情况!2. 平行线分线段成比例定理的推论(1) 文字语言：平行于三角形一边的直线截其 他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例.(2) 图形语言：如图1)//12//13,AD= AE AD = AE DB=ECAB = AC^^EC^^ACZi12h12Zi例 1 如图，ZXABC 中，DE//BC, DF//AC, AE二4, EC二2, BC二8.求 BF 和 CF 的长.问题1:运用DE//BC能推出什么结论?学生DE//BC.AD AE 4 2*_AC~6_3AB问题2:运用DF//AC能推出什么结论? 学生：T DF//ACAD _CFAB _ CBt-bpcf=t学生:3. 平行线分线段成比例定理的作用平行线分线段成比例沱理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成 比例.另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条 线段的比，来得出正确结论.合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段I'可倍数关系.四、例题剖析例2如图，AABC 中，DE//BC, EF//CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.问题L在AADOK,・•・EF//CD,能够得到什么结论?AC问题2：在能够得到什么结论?AEAD~AF问题3：由以上两个结论能否推出结论?ACAE・•・AI^AB^AF,即AD是AB和AF的比例中项问题3：由以上两个结论能否推出结论？例3,如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角A、B处均 为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB,垂足为E.已知AE长a米，EB长b米， DF长c米求CF. 问题1：由拐角A、B处均为直角能否得到AD//BC//AB?学生：根据平行线判定定理可知AD//BC//AB问题2：由AD//BC//AB能否得出AE DF学生：・•.AECF bCF 上(米)a例4,已知:如图,DE//BC,DE分别交AJAC于点D、E,求证:畚令喘哪位学生能说一下思路？五、当堂检测1 •如图所不,11〃12〃】3,AB mBC n•求证:DF m + n2.如图,己知AE〃CF〃DG,AB ： BC ： CD=1 ： 2 ： 3, CF=12 cm,求AE, DG的长.3. 如图，平行四边形ABCD在中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G交BC于点F•求证(1)DG2=GE • GF； (2)CF _ AB ~CB~7lE4, 如图，在AABC中，CD丄AB于点D, E为BC中点，延长AC, DE相交于点F，求证:科穴HIE iFtYTEKAC _ AF BC " DF六、总结延伸总结：这节课我们一起学习了平分线分线段成比例定理，你有哪些收获?♦教学反思略。