规律1.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律2. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 =∠4，求证：BE＋CF＞EF规律3. 在三角形中有中线时，常等倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD规律4. 当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用截长补智短法： ①a＞b ②a±b = c ③a±b = c±d截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE＋CD2.已知，如图，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB＋CD 规律5.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，过A作任一条直线AN，作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE规律6.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD 练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF规律7.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E求证：BD = 2CE已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，求证：AB－AC = 2CD规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求证：∠BAP＋∠BCP = 180oo练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20o，求∠CED的度数规律34.有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90o，DE为BC的垂直平分线求证：BE2－AE2 = AC2练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点求证：PB2＋PC2= 2PA2规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB =，求AC的长. 规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长.规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H求证：CE = BH练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC求证：AB = EF＋GH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点求证：CM⊥DM规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE = OF规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：S△BEC = S□ABCD规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD = S□ABCD规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.如图：AO2＋OC2 = BO2 ＋DO2规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.如图：四边形GHMN是矩形规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G求证：PF＋PG = AB规律51.直角三角形常用辅助线方法：1 斜边上的高例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE2 斜边中线，有斜边中点时常作斜边中线：例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高， F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF⊥DE规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F 求证：AP = EF 规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N求证：MD = MN注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且AP = PC＋BC求证：∠BAP = 2∠QAD规律54.利用正方形进行旋转变换 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法. 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，D为BC边上任一点求证：2AD2 = BD2＋CD2证明：把△ABD绕点A逆时针旋转90o得△ACE∴BD = CE ∠B = ∠ACE∵∠BAC = 90o∴∠DAE = 90o∴DE2 = AD2＋AE2 = 2AD2∵∠B＋∠ACB = 90o∴∠DCE = 90o∴CD2＋CE2 = DE2∴2AD2 = BD2＋CD2 注意：把△ADC绕点A顺时针旋转90o 也可，方法同上练习：已知，如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F求证：BE = CF ＋AE规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点求证：AP = AB 练习：如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CD＋CP求证：AQ平分∠DAP规律63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半.例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4,求梯形ABCD的面积.规律72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）.以上各规律请同学们自己证明.规律73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD相交于O，∠AOB = 60o ，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点求证：△MEF是等边三角形规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半.例：已知，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB = 120O.求证：AB =BD（证明略）规律75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积.例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F求证：S梯形ABCD = EF·AB规律76.若菱形有一内角为120o，则菱形的周长是较短对角线长的4倍.例：已知，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120O.求证:AB = BD （证明略）模型2、角平分线+平行=等腰三角形如图，ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（ B ）.（A）EF>BE+CF （B）EF=BE+CF （C）EF
它们具有以下性质：①非负性； ②n个非负量之和仍为非负量；③若n个非负量之和为0，则每个非负量必须同时为0；④当a=0 时，、、都有最小值，相反都有最大值① 如图所示，化简（ ）A、 B、 C、－ D、－ 模型9全等三角形模型①i（2006年安徽T 13，3分）如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是 ii（2005年温州T18，3分）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)已知斜放。