样本标准偏差分布的蒙卡模拟李新斌工物02 2010011689一、 模拟目的：通过对样木标准偏差的模拟，分析样木标准偏差的均值和方差，并与理论上样木标 准方差的分布进行比较，验证样木标准方差理论的可行性二、 模拟说明：1.2.模拟方法：利用蒙卡方法，对样木标准偏差进行重复抽样模拟过程：模拟取样的总体样木选取为正态总体样木，设正态总体样本当中期望值口 =0, 均方差o =10；从正态总体当中随机抽取numl个容量为num2的样木，木次模拟当中，numl 先后取为 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000...样 木容量num2在模拟过程当中取为100；利用蒙卡的方法重复抽样，统计毎一个样木标准偏差，并计算得出样木标准偏 差的均值和方差；将蒙卡模拟的概率密度曲线与理论上样木标准偏差的概率密度1山线进行对比; 利用matlab编写函数如下：a)b)c)d)e)function [xstd_mg3n,xstd_var ] = samplestd( numl,num2,mu,sigma ) xstd=zeros (1, numl) ; %初始化样本标准偏羔矩阵；for i=l:numlnorm=normrnd (mu, sigma, 1, num2) ; %正态总体中抽取随机数组样木； xstd (i) =vpa (std (norm) z 8) ; %获取随机数组的标准偏签；endxstd_meanl=vpa ( (1-1/ (4* (num2-l) ) ) * sigma, 8 ) ; % 样木标准偏滓的期望值; xstd_stdl=vpa (sqrt (1/ (2* (num2-l) ) *sigmaA2 ) , 8) ; %样木木示准偏差fl勺均方22；xstd_mean=vpa (mean (xstd) A 8) ; $扌羊才：*小:隹偏差的均fH： xstd_var=vpa (var (xstd) , 8) ; %样木标准偏差的方差： xstd_min=min (xstd) ; %样木标准方井的最小值； xstd_max=max (xstd) ; %样木标准方差的最人值； frequenceplot (xstd);咎调用frequencep丄ot P胃数画：I；MC模扌以的率密丁变曲纟戈; hold on;x=xstd_min:0.001:xstd_max;y=(1/((sqrt(2*pi))*xstd_stdl))*exp(-((x-xstd_meanl) .A2)/ (2*xst d_stdl."2)); %获得样木标准方差的概率密度函数； plot (x,y, );咎画出样本标准方差的概率密度函数曲线;xlabel ( ' xstd * ) ; $x坐标轴；ylabel ( * xs td proba bili ty densi ty‘)； 坐标轴； legend (' MC value * r ' theoretical value ' ) ; %图例 title ( 'Probability density function curve ' ) ; %标题 hold off;end function frequenceplot(y) ymin=min (y);鸟获取数组y的最小什i： ymax=max (y) ; $获取数组y的最大值;x=linspace (ymin, ymax, 100) ; %将数纟Uy最小值和最大值区间分为100份;yy=hist (y, x) ; %获得以x为中心的宜方图中的y的频数;yy=yy/length (y) / ( (ymax-ymin) /100) ; %归一化宜方图: plot (x, yy);鸟将f l.方图的中心连接起来如下为matlab模拟输出的结果:Table 1蒙卡模拟输出的标准偏差的均值和方差num2=100xstd meanl=9.9747475xstd varl=0.50505051numlxstd mea nxstd var1009.96486680.4391288610009.99848530.50366963100009.97524160.492792311000009.9732890.5037834810000009.97434110.5049303110000000运行时间过长，已放弃100000000内存溢出以下为理论和模拟的概率密度曲线的输岀:Probability density function curve8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12xstdFigure 1 numl=1002 18 6 4 • • • •1 o o oAysu-SA==qeqo」d p-sx2o.61—」.507Figure 2 numl=l0006 5 4 3 2 1 • ••••• o o o o o o Aysuap A-三qeqo」d p_sxProbability density function curve8 9 10 11 12xstdFigure 3 numl=100007 6 5 • • • o o o4 3 2 • • • o o ooA-一 su-sA==qeqo」d p-sx13Probability density function curve7 8 9 10 11 12 13 14xstd7 6 5 o.o.o.o3 2 o.o.T— oFigure 4 numl=100000Aysuap A==qeqo」d p_sxxstdFigure 5 numl=1000000Aysuap>p三 qeqo」d p-sx三、模拟结果分析：1.根据中心极限定理可知，当抽取的样木数足够大时，样木标准偏差的分布近似为一 个正态分布，其中：（公式1—截取）―-—(T22(N — 1)（公式2—截取）则样本容量 num2=100 时，即 N=100,则计算可知 vSx> =9.9747475, o 2(SX)=0.50505051,即为样木标准偏并的期望值和方热2.从模拟运行的输出结果可以看出，随着样木数的增加，模拟抽样的样木标准偏并的概率密度函数Illi线与理论上的样木标准偏差的概率密度函数曲线逐渐吻合，也证明 了当抽取的样本数足够大时，样本标准偏差的分布近似于一个正态分布。
四、模拟总结:木次的模拟基本上能够从图形和数据上体现出模拟结果与理论的对比，也证明了中心极限定理的正确性木次的模拟不足之处在于程序有待改善，当样木数取到10000000时，运行时间过长而不得不停II濮拟模拟过稈也表明MC模拟方法的重要性，说明 MC方法对于计算机发展的依赖性只有计算机的高速发展，才带来了 MC方法的长足发展。