《2022年《基本不等式》典型例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《基本不等式》典型例题（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学必修五典题精讲典题精讲例 1（ 1）已知 0 x 1 ,求函数 y=x1-3x 的最大值 ;3可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2）求函数 y=x+1 的值域 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载思路分析： （ 1）由极值定理 ,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数.（ 2）中,未指出x 0,因而不能直接使用基本不等式,需分x 0 与 x0 争论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）解法一： 0x1,1-3x 0.3可编辑资料 - - - 欢迎下载 y=x1-3x=13x1- 3x313 x313 x2 2 =1 ,当且仅当3x=1-3x ,即 x=
2、121 时,等号成6可编辑资料 - - - 欢迎下载立. x=1 时,函数取得最大值1 .612可编辑资料 - - - 欢迎下载解法二： 0 x11,-x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载33x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载 y=x1-3x=3x1-x 333 2=21 ,当且仅当 x=121-x, 即 x=31 时,等号成立 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载 x=1 时,函数取得最大值1 .612可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2）解：当 x 0 时,由基本不等式,得y=x+112 x=2,当且仅当 x=1 时,等号成立 .可编辑资料 - -
3、 - 欢迎下载当 x 0 时, y=x+1=- -x+xxx1.x可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 -x 0, -x+11 2当,x且仅当 -x=1,即 x=-1 时,等号成立 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载 y=x+-2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载综上 ,可知函数 y=x+1 的值域为 -,-2 2,+ .x可编辑资料 - - - 欢迎下载绿色通道： 利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立制造条件, 同时要留意等号成立的条件是否具备.可编辑资料 - - - 欢迎下载变式训练 1 当 x -1 时,求 fx=x+1的最小
4、值 .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载思路分析： x-1x+1 0,变 x=x+1-1 时 x+1 与解： x -1,x+1 0.1的积为常数 .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 fx=x+1=x+1+x11-12 x1x11x1-1=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当 x+1= fx min=1.1,即 x=0 时 ,取得等号 .x1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载4变式训练 2 求函数 y= x3 x2x 213 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载思路分析： 从函数解
5、析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可开放. 解：令 t=x 2+1,就 t 1且 x 2=t-1.可编辑资料 - - - 欢迎下载4 y= x3x2x 213t=1 23t13tt 2t1 tt11 .t可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 t 1,t+ 1t2 t1=2, 当且仅当 t=t1,即 t=1 时,等号成立 .t可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x=0 时,函数取得最小值3.可编辑资料 - - - 欢迎下载例 2 已知 x 0,y 0,且19+=1,求
6、 x+y 的最小值 .x y可编辑资料 - - - 欢迎下载思路分析： 要求 x+y 的最小值,依据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请认真体会.解法一：利用 “1的代换 ”,19+=1,xy可编辑资料 - - - 欢迎下载 x+y=x+y 1 +9=10+y 9 x.可编辑资料 - - - 欢迎下载xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载 x 0,y 0,y9 x2y9 x=6.可编辑资料 - - - 欢迎下载xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当y9x,即 y=3x 时,取等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载xy19又+=1, x=4
7、,y=12.xy当 x=4,y=12 时, x+y 取得最小值 16.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载解法二：由19y+=1,得 x=.x yy9可编辑资料 - - - 欢迎下载 x 0,y 0, y 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载x+y=y+y=y+y 9y99y9=y+9+1=y-9+y99+10.y9可编辑资料 - - - 欢迎下载 y 9, y-9 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载 y99y92 y99=6.y9可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当 y-9=9,即 y=12 时,取得等号,此时x=4.当 x=
8、4,y=12 时, x+y 取得最小值 16.解y9可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载法三：由19+=1 ,得 y+9x=xy,xy可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 x-1y-9=9. x+y=10+x-1+y- 9 10+2 x1 y9 =16,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当且仅当 x-1=y-9 时取得等号 .又 x=4,y=12.19+=1,xy可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x=4,y=12 时, x+y 取得最小值 16.绿色通道： 此题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子
9、进行了变形,配凑出基本不等式中意的条件,这是常常需要使用的方法,要学会观看,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要留意依据被代换的变量的范畴对另外一个变量的范畴的影响.黑色陷阱： 此题简洁犯这样的错误：可编辑资料 - - - 欢迎下载19+2xy9 ,即xy6 1,xyxy 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 x+y2 xy 26=12. x+y 的最小值是 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载产生不同结果的缘由是不等式等号成立的条件是1 = 9 ,不等式等号成立的条件是x=y.在同xy可编辑资料 - - -
10、 欢迎下载一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载变式训练 已知正数 a,b,x,y 中意 a+b=10, axb=1,x+y 的最小值为 18,求 a,b 的值.y可编辑资料 - - - 欢迎下载思路分析： 此题属于 “1的”代换问题 .可编辑资料 - - - 欢迎下载解： x+y=x+yaxbbx=a+yyaybxay+b=10+.xyx可编辑资料 - - - 欢迎下载 x,y 0,a,b 0, x+y10+2ab =18,即ab =4.又 a+b=10,a2,a8,或b8b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载例 3 求 fx=3+lgx+4的最小值（ 0 x 1）.lg x可编辑资料 - - - 欢迎下载思路分析： 0 x 1,4可编辑资料 - - - 欢迎下载 lgx 0,lg0 不中意各项必需是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法x可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载是加上
