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1、可编辑资料 - - - 欢迎下载一，学问导学5.3 基本不等式的证明错误会题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载1，比较法：比较法是证明不等式的最基本，最重要的方法之一,它是两个实数大小次序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法 简称为求差法 和商值比较法 简称为求商法 .(1) 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“- 0. - 0 ”.其一般步骤为：作差：考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体.变形：把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为如干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是常常使用的变形手 段.判定：依据已
2、知条件与上述变形结果,判定不等式两边差的正负号,最终确定所求证不等式成立的结论. 应用范畴： 当被证的不等式两端是多项式，分式或对数式时一般使用差 值比较法.+(2) 商值比较法的理论依据是： “如, R , / 1. / 1”.其一般步骤为：作商：将左右两端作商.变形：化简商式到最简形式.判定商与1的大小关系,就是判定商大于1 或小于 1.应用范畴：当被证的不等式两端含有幂，指数式时,一般使用商值比较法.2，综合法：利用已知事实 已知条件，重要不等式或已证明的不等式 作为基础,借助不等式的性质和有关定理, 经过逐步的规律推理, 最终推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”, 从“已知
3、”看“需知”,逐步推出“结论”. 即从已知逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论.3，分析法：是指从需证的不等式动身,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备, 其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”, 逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是： 为了证明命题成立, 只需证明命题 1 为真,从而有, 这只需证明 2 为真,从而又有,这只需证明为真,而已知为真,故必为真.这种证题模式告知我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4，反证法：有些不等式的证明,从正面证不好说清晰,可以从正难就反的角度考虑,即要证明不等式 ,先假设,由题设及其它性质,推出冲突
4、,从而确定.凡涉及到的证明不等式为否定命题，惟一性命题或含有“至多”，“至少”，“不存在”，“不行能”等词语时,可以考虑用反证法.可编辑资料 - - - 欢迎下载5，换元法：换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明白的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启示和方法.主要有两种换元形式.1 三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂, 一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换, 将两个变量都有同一个参数表示. 此法假如运用恰当, 可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题. 2增量换元法：在对称
5、式 任意交换两个字母,代数式不变 和给定字母次序 如 等 的不等式,考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简.如+ =1,可以用 =1- , =或 =1/2+ , =1/2- 进行换元.二，疑难学问导析1，在用商值比较法证明不等式时,要留意分母的正，负号,以确定不等号的方向.2，分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因,利于摸索,由于它方向明确, 思路自然,易于把握.后者是由因导果,宜于表述,由于它条理清晰,形式简洁,适合人们的思维习惯.但是, 用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的书写形式, 由于它表达较繁,假如把“只需证明”等
6、字眼不写,就成了错误.而用综合法书写的形式,它掩盖了分析，探究的过程.因而证明不等式时,分析法，综合法常常是不能分离的. 假如使用综合法证明不等式,难以入手常常用分析法探究证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律.仍有的不等式证明难度较大,需一边分析, 一边综合, 实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分说明分析与综合之间互为前 提，相互渗透， 相互转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.3，分析法证明过程中的每一步不愿定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,由于这时仅需查找充分条件,而不是充要条件. 假如非要“步步可逆”
7、, 就限制了分析法解决问题的范畴, 使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时, 确定要恰当地用好“要证”，“只需证”，“即证”，“也即证”等词语.4，反证法证明不等式时,必需要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出冲突.5，在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有确定的限制,应引起高度重视, 否就可能会显现错误的结果.这是换元法的重点, 也是难点,且要留意整体思想的应用.三，经典例题导讲可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载 例 1 已知 abab0 , 比较11与的大小.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载【错解】abab0 ,1 bab
8、0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载abab可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 当 a，b 同号时,即 ab0 或 ba0,b a0, ba0,1 0,b0,1 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载abab 例 2当 a，b 为两个不相等的正实数时,以下各式中最小的是（）A，a2bB，abC，a22b 2D， a12b11【错解】 所以选 B.【错因 】是由于在a2b，ab ，a 22b 2中很简洁确定ab 最小,所以易误选B.而事实上三者中最小者,并不愿定是四者中最小者,要得到正确的结论,就需要全面比较,不可编辑资料 - - - 欢迎下载可遗漏 a1b 1221 与前三者的大小比较.
9、可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2【正解】 由均值不等式abab 及 a2ab, 可知选项 A， B，C 中,ab 最小,而可编辑资料 - - - 欢迎下载a 1b 1+b22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载 1 2a,由当 ab 时, a+b2ab , 两端同乘以ab ,可得（ a+b） abb可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载2ab,2ab ab ,因此选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载ab1212可编辑资料 - - - 欢迎下载 例 3 已知： a0 , b0 , a+b=1,求a+a +b+b 的最小值.可编辑资料
10、 - - - 欢迎下载1212221121可编辑资料 - - - 欢迎下载【错解】 a+a+b+b=a +b +a 2+4 2ab+b 2ab+4 4ab .ab+4=8,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载21a+a+b+12 的最小值是 8.b可编辑资料 - - - 欢迎下载【错因】上面的解答中, 两次用到了基本不等式a2+b2 2ab,第一次等号成立的条件是a=b= 1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载其次次等号成立的条件是ab=1 ,明显,这两个条件是不能同时成立的.因此,8 不是最ab可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载小值
11、.22【正解】 原式 = a +b + 1 + 1a 2b2+4= a+b +1 + 1a 2b2+4=a+b 2ab+1 + 1 2 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载2222 +4= 1 2ab1+ab1a 2b 2+4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载由 ab ab 2= 1得： 1 2ab11 = 1 ,且1 16,1+117,可编辑资料 - - - 欢迎下载2422a2 b2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载原式 1 17+4=25 当且仅当 a=b= 1 时,等号成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载2a +12221 2 的最小值是 25 .可编辑资料 - - - 欢迎下载+ b +ab2可编辑资料 - - - 欢迎下载 例 4已知 0 x 1, 0 a 1 ,试比较| log a 1x | 和| log a 1x |的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载解法一 ： | loga 1x |2| log a1x |2loga 1xloga 1x loga1xloga1x可
