基于教育学立场的“旋转变换”教学探索及点评

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1、基于教育学立场的“旋转变换”教学探索及点评摘要：数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手 段来“育”人的教育学立场.基于教育学立场的数学教学怎样操 作？本文以“旋转变换”为载体并采用研究性变革实践的方式进行 了探索.初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的教学操 作方法对贯彻数学教学的教育学立场有积极的作用.关键词：初中数学；教育学立场；旋转变换；教学操作引言数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手段来“育” 人的教育学立场.显然，基于教育学立场的数学教学需要合适的“过程”（如概念的形成过程、原理的生成过程、用数学方法和理 论解决问题及问题解决后的反思过程等）.但目前课堂教学

2、普遍存 在“过程”短暂甚至缺失的问题，这不利于学生在“过程”中理解 知识、体会和运用数学思想与方法及发展能力和个性.基于教育 学立场的数学教学怎样操作？笔者以浙教版义务教育课程标准实 验教科书?数学七年级下册“2. 4旋转变换”为载体，并采用研究 性变革实践的方式进行了探索.初步的理论求证和实践验证表明， 探索中形成的教学操作方法对贯彻数学教学的教育学立场有积极 的作用.本文简录用教育学立场指导其教学的过程并进行点评， 供读者参考、研究.教学过程简录及点评第1阶段：旨在“资源生成”的“有向开放”预习基础上的交互反馈第1步：课前预习自主探索课前，教师设计如下的“先行组织者”，供学生课前预习(允许

3、合 作研讨).1先观察物体的运动过程，再回答问题.(1) 如图1,这些物体的运动有何共同特点？(2) 它们在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？2. 你是怎样发现上述物体运动具有这样的特点？能否用数学的 思维方法来加以说明？如果回答这个问题有困难，请你先思考下列 问题：(1)数学地看物体运动应该先把物体看成什么？(2 )图形是由点组成的，图形运动能否看成是图形上点的运动？(3 )考察图形上点运动特征的策略是什么？3. 通过观察物体旋转运动的特征，你对图形旋转运动有何感 触？第2步：汇报交流交互反馈上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成 果.同吋教师倾听学生的汇报、交流

4、，必要时，教师进行追问、 激励、评析.在此基础上教师进行总结：(1)几何研究的对象是图形，数学地看物体运动应将物体抽象 成图形；图形是由点组成的，图形运动实际上就是图形上点的运动, 而考察点运动的特征可从考察特殊点运动的特征着手.（2 ）这样我们用抽象方法（物体一图形）、一般到特殊思想（图 形运动一点运动一特殊点运动）和一般问题特殊化的认知策略，发 现了物体旋转运动的特征：各部分绕定点按同个方向旋转相同的 角度.其实，我们用抽象问题具体化的认知策略，还可以发现物 体对应的图形旋转运动也具有这样的特征：图形上所有点绕定点按 同一个方向旋转相同的角度.（3 ）生活中旋转现象具有广泛的存在性；图形旋

5、转是物体旋转 运动的数学抽象；图形旋转能使局部的图形变成整体的图形，能使 分散的图形集中起来，能使分散的条件相互沟通.点评：这个“先行组织者”引导下的导入性学习活动具有典型性 和定向指导性.提前思考基础上的交流合作，有利于实现“导富 济贫”，能使不同层次的学生在学习新知识之前达到大致同一水平; 有利于资源生成，可能会产生个性化的想法；同时交流也能满足学 生表现自我、发展自我、学会倾听的需要.笫2阶段：旨在“提升思维”的“互动生成”研讨基础上生 成数学方法和理论第3步：引导探究合作研讨正因为这样的图形改变（旋转）有丰富的现实情景和广泛的应用 价值，就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性.这

6、节课 的研究对象就是这样的图形改变（旋转）.（揭示课题）接着，教师依次提出以下2个挑战性的问题，要求学生合作研讨 并发表自己的观点.问题1：怎样确定图形改变后的新图形？如图2, o是外的 一点怎样作ARbc绕定点。按逆时针方向旋转60。后的图形？（提 示：可分别依据图形旋转的含义和图形旋转的特征來进行作图）学生独立学习（允许合作研讨），教师巡视指导，约3分钟后进行 交流、示范.问题2：指出图3改变前后两个图形的对应点、对应边、对应角？ 问:改变前后两个图形有哪些不变关系（位置关系或数量关系）?（提示：可从整体（着眼于图形）和局部（着眼于边、角、点）多 个视角进行观察）学生独立学习（允许合作研讨

7、），教师巡视指导，约3分钟后进行 交流、评析.第4步：建构理论综合概括在此基础上，教师引导学生概括得出旋转变换的概念、确定旋转 变换后象的方法、旋转变换的性质、旋转变换蕴涵的思维方法和思 想方法及“三种儿何变换”的异同.（1）旋转变换的概念：由一个图形改变为另一个图形，在改变的 过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向（按 顺吋针或逆时针），转动（做圆周运动）同一个角度，这样的图形 改变叫做图形的旋转变换，简称旋转.这个固定点叫做旋转中心, 旋转的角度叫做旋转角，经变换所得的新图形叫做原图形的象.（2）确定旋转变换后象的方法：操作法图形整体旋转（依 据是旋转的含义）.这种方法的优

8、点是：直观；缺点是：操作不方 便.作图法图形旋转化归为点旋转（依据是旋转的特 征.这种方法的优点是：操作方便（更有“数学味”）；缺点是： 抽象.但两种思想方法都有应用价值，不可偏废.（3）旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小旋 转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心 的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.旋转变换前后的两个图形的不变关系是进一步认识儿何的理 论基础.（4）旋转变换蕴涵的思维方法：一般到特殊（图形运动一点运动 f特殊点运动）和特殊到一般（特殊点运动f点运动f图形运动）; 旋转变换蕴涵的思想方法：通过图形旋转运动将局部的图形变成整

9、体的图形，将分散的图形集中起来，将分散的条件相互沟通.这 些思维方法和思想方法具有广泛的应用价值（5）“三种儿何变换”的异同：轴对称变换、平移变换、旋转变 换的相同点：它们都是过程性概念，描述的是图形运动；它们 变换前后的两个图形的形状、大小都不变；它们蕴涵的思维方法 和思想方法都相同.轴对称变换、平移变换、旋转变换的不同点: 它们图形运动的特点不同轴对称变换的运动特点是翻折，平 移变换的运动特点是定向移动，旋转变换的运动特点是绕定点旋 转；它们运动前后两个图形的方向不同一一轴对称变换改变图形 方向，平移变换不改变图形方向，旋转变换改变图形方向；它们 改变前后两个图形的部分不变关系不同、应用范

10、围不同等.点评：这个挑战性问题引导下的探究性学习活动关注了四性：必 要性、目的性、可操作性、有效性.教师设置的认知提示语，能 引发学生积极思维.在学生充分活动的基础上，将发现的结论进 行整理、补充和完善，使之规范化，并与轴对称变换、平移变换建 立有机联系和对两种确定象的方法进彳亍辩证分析.这能满足学生 建构性学习和理解的需要.第3阶段：旨在“发展技能”的“尝试运用”解答基础上的 反思拓展第5步：尝试运用解答问题教师在综合概扌舌的基础上，依次提出下列4个有代表性问题，要 求学生独立学习基础上交流合作.问题1 （辨别）：如图4,止确表示将止方形x绕点o按顺时针方 向旋转60。的是哪一个？为什么？学

11、生选择与分析，必要吋，教师进行追问、评析.问题2 （概念识别人如图5,经过怎样的旋转变换，可由射线 op得到射线oq?图6是一双手的图片.能否经过一定的旋转变 换，使左手的图形与右手的图形重合？经过轴对称变换呢？从中可 以得到什么结论？学生口述，必要时，教师进行追问、评析.问题3 （方法演示）：如图7,以点。为旋转中心，将线段ab按顺 时针方向旋转60 ,作出经过旋转变换后所得的象.请你提供尽 可能多的方法，并求出象与线段处所成的锐角度数.学生作图操作，教师巡视指导，约2分钟后进行交流、评析.问题4 （问题解决）:图8是一个直角三角形的苗,由正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成，如果两个直角三

12、角形的两条斜边 长分别为3米和6米，你能求出草皮的面积吗？学生独立学习（允许合作研讨），教师巡视指导，约2分钟后进彳亍 交流、评析.笫6步：做后思考反思拓展教师在学生用数学方法和理论解答有代表性问题的基础上，依次 提出以下2个反思性问题，耍求学生合作研讨并发表自己的观点.问题1：上述问题3,作图的策略（思想）是什么？用的是什么方 法？具体使用了哪些技巧？ 一般地，旋转变换前后两个图形对应边 所在直线的夹角与旋转角有何关系？问题2：上述问题4,解题的策略（思想）是什么？用的是什么方 法？具体使用了哪些技巧？般地，用旋转变换的思想方法解题的 条件是什么？教师在学生充分发表意见的基础上给出问题的答案

13、：（1）上述问题3作图的策略是用图形旋转的特征，用的是用作图 工具作图的方法，使用的技巧是：先将点a、b绕定点。按顺吋 针方向旋转60得 bz ,再连结、1/ ；先过点o作线 段ab所在直线的垂线，设垂足为n,然后将点n绕定点o按顺时针 方向旋转60得2，再过点作on的垂线，并在垂线上取n a/ =na, nz bz =nb. 一般地，旋转变换前后两个图形对应边所在 直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角.（2）上述问题4解题的策略是用图形旋转的思想，用的方法是将 bee绕点b按逆吋针方向旋转90 ,使用的技巧是：先将Abec 绕点b按逆时针方向旋转90，使分散的两个三角形变成一个大的 直角

14、三角形，再用三角形面积公式求此三角形的面积.一般地，问 题涉及等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形时，可 考虑用旋转变换的思想方法.点评：这个有代表性问题引导下的应用性学习活动，能加深学生 对旋传变换的认识，能丰富学生数学活动的经验般到特殊：图形旋转可以转化为点旋转；特殊到般：点旋转可以转化为图形 旋转；局部到整体：分散的图形通过旋转变换可以集中起来.同 时能发展学生的智慧技能.特别是问题解答后的反思性学习活动, 能使学生认识史全面、史深刻.笫4阶段：旨在“拓展生成”的“开放延伸”学习后的回顾 与反思第7步：内容回顾交流合作教师在解题后反思的基础上，列下“问题清单”，鼓励学生围绕问

15、题进行交流合作.（1）学习旋转变换有何意义？旋转变换有何特征？旋转变换有何 特性？（2）描述旋转变换有几种方法？确定旋转变换后所得的象有几种 方法？（3）旋转变换与轴对称变换、平移变换的相同点是什么？不同点 是什么？（4）你在学习过程中，感受到了哪些思维方法？获得了哪些数学 活动的经验？（5）你在学习过程中，感受到了哪些思想方法？碰到了哪些困难？ 有何感触？第8步：课堂总结课后欣赏教师在倾听学生交互反馈后，让学生欣赏旋转变换的自述（这部 分内容可以移至课后）：hi!我是旋转变换.我与轴对称变换、平移变换一样是描述图形 运动的一种形式.我运动的特点是图形上所有点绕定点按同-个 方向转动同一个角度.表示我的方式有两种：文字表示和图形表 示.确定变换后象的方法有两种：操作法图形整体旋转（依 据的是我的含义）；作图法图形旋转化归为点旋转（依据的是 我的特征）.我有许多性质：变换不改变图形的形状和大小旋 转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心 的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度； 变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角 减去旋转角.我能将局部的图形变成整体的图形，将分散的图形 集中起来，将分散的条件相互沟通.之所以人们喜欢我，是因为 我是解决涉及等腰三角