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1、 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数学语言描述:一 、数列极限的定义引例. 设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .如图所示 , 可知当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回
2、结束 例如,趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知证明数列的极限为1. 证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知证明证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明: 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有故的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛
3、数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明数列是发散的. 证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界.证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,虽有界但不收敛 .有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、 3. 收敛数列的保号性.若且时, 有证: 对 a 0 , 取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 *4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1. 夹逼准则 (准则1) (P59)证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时,
5、 有由条件 (1)即故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 证明证: 利用夹逼准则 .且由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P63 ) ( 证明略 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设证明数列极限存在 . (P64)证: 利用二项式公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 大 大 正又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限 .原题 目录 上页 下页 返回 结束 又*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P67)数列极限存在的充要条件是:
6、存在正整数 N , 使当时,证: “必要性”. 设则时, 有 使当因此“充分性” 证明从略 .有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时, 下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P34 A 3;
7、 4(2,3,4) ; 5;P34 B 1(2,4); 2; 3;P68 B 2; 3;P68 2 (3) 提示:可用数学归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题 1.设 , 且求解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设证: 显然证明下述数列有极限 .即单调增, 又存在“拆项相消” 法刘徽(约225 295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,
