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1、高中排列与组合学问讲解及例题精选1. 学习目标把握排列，组合问题的解题策略2. 重点（ 1 ）特别元素优先支配的策略：（ 2 ）合理分类与精确分步的策略.（ 3 ）排列，组合混合问题先选后排的策略.（ 4 ）正难就反，等价转化的策略.（ 5 ）相邻问题捆绑处理的策略.（ 6 ）不相邻问题插空处理的策略.3. 难点综合运用解题策略解决问题.4. 学习过程 :(1) 学问梳理1 分类计数原理（加法原理） ：完成一件事,有几类方法,在第一类中有m1 种有不同的方法,在第 2 类中有 m2 种不同的方法 在第 n 类型有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.2 分步计数原理（乘法原理）
2、 ：完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法 ,做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.特别提示：分类计数原理与 “分类 ”有关,要留意 “类”与“类”之间所具有的独立性和并列性.分步计数原理与 “分步”有关,要留意 “步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类，分步,做到不重复，不遗漏.3 排列：从 n 个不同的元素中任取 mm n 个元素,依据确定次序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 .4 排列数：从 n 个不同元素中取出 mm n 个元素排成一列
3、,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 表示.5 排列数公式： 特别提示：（ 1 ）规定 0. = 1（ 2 ）含有可重元素的排列问题 .对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有 k 个不同元素 a1 , a2, .an其中限重复数为n1 ，n2 nk ,且 n =n1+n2+ nk, 就 S 的排列个数等于.例如：已知数字 3 ，2 ，2 ,求其排列个数又例如：数字 5 ，5 ，5 ，求可编辑资料 - - - 欢迎下载其排列个数？其排列个数.6 组合：从 n 个不同的元素中任取mm n个元素并成一组,叫做从 n
4、 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 .7 组合数公式：8 两个公式：特别提示：排列与组合的联系与区分.联系：都是从 n 个不同元素中取出m 个元素 .区分：前者是 “排成一排 ”,后者是 “并成一组 ”,前者有次序关系,后者无次序关系.(2) 典型例题考点一: 排列问题例 1. 六人按以下要求站一横排,分别有多少种不同的站法？（1 ）甲不站两端.（2 ）甲，乙必需相邻.（3 ）甲，乙不相邻.（4 ）甲，乙之间间隔两人.（5 ）甲，乙站在两端.（6 ）甲不站左端,乙不站右端 .考点二: 组合问题例 2.男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人. 选派 5 人外出竞赛 .在
5、以下情形中各有多少种选派方法？（1 ）男运动员 3 名,女运动员 2 名.（2 ）至少有 1 名女运动员.（3 ）队长中至少有 1 人参加.（4 ）既要有队长,又要有女运动员 .考点三: 综合问题例 3.4 个不同的球, 4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.（1 ）恰有 1 个盒不放球,共有几种放法？（2 ）恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法？（3 ）恰有 2 个盒不放球,共有几种放法？当堂测试1. 从 5 名男医生， 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男，女医生都有,就不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种2.2021年广州亚运会组委
6、会要从小张，小赵，小李，小罗，小王五名抱负者中选 派四人分别从事翻译，导游，礼仪，司机四项不同工作,如其中小张和小赵只能从 事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,就不同的选派方案共有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载A.48种B.12种C.18种D.36种3. 从 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.1624. 甲组有 5 名男同学, 3 名女同学.乙组有 6 名男同学, 2 名女同学.如从甲，乙两组中各选出 2 名同学,就选出的4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（）A.150种B.
7、180种C.300种D.345种5. 甲，乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,就甲，乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.366. 用 0到 9 这 10个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A 324B.328C.360D.6487. 从 10 名高校毕业生中选 3 人担任村长助理, 就甲，乙 至少有 1 人入选,而丙 没有入选的不同选法的总数为（）A.85B.56C.49D.288. 将甲，乙，丙，丁四名同学分到三个不同的班,每个班至少分到一名同学,且甲，乙两名同学不能分到同一个班,就不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.309.
8、3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,如男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,就不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96参考答案：例 1解：（ 1 ）方法一：要使甲不站在两端,可先让甲在中间4 个位置上任选 1 个,有种站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法,依据分步乘法计数原理,共有站法：方法二：由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5 个人中选 2 个人站,有种站法,然后中间 4 人有种站法,依据分步乘法计数原理, 共有站法：方法三：如对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有种站法,从总数中减去这两种情形的排列数,即共有站法：（2）
9、 ）方法一：先把甲，乙作为一个 “整体 ”,看作一个人,和其余4 人进行全排列有 种站法,再把甲，乙进行全排列,有种站法,依据分步乘法计数原理,共有方法二：先把甲，乙以外的 4 个人作全排列,有种站法,再在 5 个空档中选出一个供甲， 乙放 入, 有种方法, 最终让甲 ， 乙 全排 列, 有种方法, 共有可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） ）由于甲，乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法 ”,第一步先让甲，乙以外的 4个人站队, 有种站法. 其次步再将甲， 乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端） 中, 有 种站法,故共有站法为也可用 “间接法 ”,6 个人全排列有种站法,由（ 2 ）知甲，
10、乙相邻有种站法,所以不相邻的站法有.（4） ）方法一：先将甲，乙以外的4 个人作全排列,有种,然后将甲，乙按条件插入站队,有种,故共有站法.方法二：先从甲，乙以外的4 个人中任选 2 人排在甲，乙之间的两个位置上,有种,然后把甲，乙及中间 2 人看作一个 “大”元素与余下 2 人作全排列有种方法, 最终对甲，乙进行排列,有种方法,故共有站法.（5） ）方法一：第一考虑特别元素,甲，乙先站两端,有种,再让其他 4 人在中间位置作全排列,有种,依据分步乘法计数原理,共有站法.方法二：第一考虑两端两个特别位置,甲，乙去站有种站法,然后考虑中间 4 个位置,由剩下的 4 人去站,有种站法,由分步乘法计
11、数原理共有站法.（6） ）方法一：甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有 A种,共有站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有种站法,甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有种,故共有站法.例 2解 （1 ）第一步：选 3 名男运动员,有种选法.其次步：选 2 名女运动员,有种选法 .共有种选法 .（2） ）方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情形：1 女 4 男, 2 女 3 男, 3 女 2 男, 4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二“至少 1 名女运动员 ”的反面为 “全是男运动员 ”可用间接法求解 .从 10 人中任选 5 人
12、有种选法,其中全是男运动员的选法有种.可编辑资料 - - - 欢迎下载所以“至少有 1 名女运动员 ”的选法为.（3） ）方法一：可分类求解：“只有男队长 ”的选法为. “只有女队长 ”的选法为.“男，女队长都入选 ”的选法为.所以共有种选法 .9分方法二：间接法：从 10 人中任选 5 人有种选法.其中不选队长的方法有种.所以 “至少 1 名队长 ”的选法为种. 9 分（4） ）当有女队长时,其他人任意选,共有种选法 .不选女队长时,必选男队长, 共有种选法 . 其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有种选法 .所以既有队长又有女运动员的选法共有种.例 3 解 （ 1 ）为保证
13、 “恰有 1 个盒不放球 ”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问 题转化为 “4个球, 3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法？”即把 4 个球分成 2 ,1 ,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另 外2 个盒子内,由分步乘法计数原理,共有（ 2 ）“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此,“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1个盒不放球 ”是同一件事,所以共有 144 种放法.（3 ）确定 2 个空盒有种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成（3
14、 ,1 ），（2 ,2 ）两类,第一类有序不均匀分组有种方法.其次类有序均匀分组有种方法 .故共有种.当堂检测答案1. 从 5 名男医生， 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男，女医生都有,就不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种解析：分为 2 男 1 女,和 1 男 2 女两大类,共有=70种, 解题策略：合理分类与精确分步的策略.2.2021年广州亚运会组委会要从小张，小赵，小李，小罗，小王五名抱负者中选 派四人分别从事翻译，导游，礼仪，司机四项不同工作,如其中小张和小赵只能从 事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,就不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种解析：合理分类,通过分析分为（1 ）小张和小王恰有 1 人入选,先从两人中选1可编辑资料 - - - 欢迎下载人,然后把这个人在前两项工作中支配一个, 最终剩余的三人进行全排列有种选法.（2 ）小张和小赵都入选,第一支配这两个人,然后再剩余的
