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1、关于数学中无限的分析与探讨摘要数学把“无限问题”纳入研究范畴是由客观规律决定的，它 从根木上改变了数学全貌，使数学的发展进入了一个崭新的阶段，更加有 利于数学理论与现实生活结合，推动科学技术转化生产力。关键词数学危机；极限；无穷小近、现代数学打破了传统的数学观念，把“无限问题”作为数学的研 究对象，从根本上改变了数学全貌，使数学有了质的飞跃和发展，其结构 体系H趋精密和完善。数学这种把“无限问题”作为研究对象不是偶然的, 是其发展到更高阶段的必然产物，更是人类认识自然和改造自然的必然结 果。近世数学，尤其是现在数学自把“无限问题”纳入研究范畴以后，在 生产力飞速发展的今天所取得的惊人成就正说明
2、了这一点。本文在口1顾历 史的基础上，阐明“无限问题”对数学的发展和影响。1数学把“无限问题”纳入研究范畴是由客观规律决定的数学是伴随人类文明向前发展的。人类认识客观事物从粗浅到细致， 从具体到抽象，从宏观到微观，从有限到无限。正是在这种丿力史条件下， 数学作为人类研究自然的工具与“无限问题”结下了不解之缘。人们最初对“无限问题”的认识是建立在自发的基础上，例如：在我 国的庄子 天下篇曾这样描述“一尺Z極，H取其半，刀世不绝”。这 是一个有头有尾、但永远不能变为零的无限变小的过程。这种思想是从量 的角度，以形象然而朴素的语言，刻划了无限可分性。它正是现代极限概 念的萌芽状态。还有三国时期刘徽的
3、割圆术所阐述的“割之弥细，所失弥 少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣它们实际描述 的是微积分学中的极限问题1。这种描述虽是直观的，没有严格的逻辑 推导，虽然人们受当时历史条件的限制，还无法给出数学上的合理解释， 但是它揭示了数学与“无限问题”的丿力史渊源，说明了 “无限问题”成为 数学的研究对象是由客观规律决定的，最终把它纳入研究范畴是不可避免 的。随着生产力的发展，人们认识客观事物的范畴不断扩大，不时会遇见 各种不同的“无限问题”。在欧洲有“人追龟说”、“飞矢不动”等等。这 都说明了无限小思想来自于实践。如何把这种实践提炼为理论，由感性认 识上升理性认识，进而用于指导实践?是自
4、然科学面临的难题。为了解决 这个问题，数学家们在不断探索，从而推动了数学向前发展，使人们的思 想也变得精细、严谨、深刻。例如作为最重要、最基本的高等数学分支一一 微积分学建立了从有限运算到无穷运算过渡的理论，即极限理论，从而解 决一些经过有限次四则运算无法解决的问题。止是由于人们对无限的追求和探索，最终把离散量和连续量有机 结合起来，从而导致了十七世纪开始后，变量数学登上丿力史舞台。尤其是 微积分学的创立，是人类文化史上的杰作，标志着科学发展进入了新阶段。 在此基础上，产生了多种学科都是以“无限问题”作为研究对象，可以说 近、现在数学离开了 无限是寸步难行。随着时代的发展和科学进步， 人们对“
5、无限问题”的研究和探索已经取得惊人成就，深入到各个领域， 并将其广泛利用于现实生活之中。2探索“无限问题”给数学的发展带來机遇和挑战数学知识来多来自于实践，指导于实践。当数学知识不能解决新出现 的问题时就会爆发数学危机。数学危机的出现是人们在认识和解释自然客 观规律的过程中所遇到困难的必然产物。在历史上曾经发生过三次数学危 机，而这三次数学危机都直接或间接地与无限有关。它的出现给数学 的发展带来机遇和挑战。在公元前500年左右，古希腊毕达哥拉斯学派证明了勾股定理，由此 发现正方形的对角线与边长不可公度，即用自然数不可表述。实际上是发 现了无限不循环小数一一无理数，从而引发第一次数学危机。此次数
6、学危 机引起人们对数量问题的重新思考。在19世纪以前，人们只是直观地想 象，承认了无理数存在，至于它的系统理论并没有去探究。直到非欧几何 产生，人们才不在简单地相信直观，而需追求理论上的完整和严密。德国 的魏尔斯脫拉斯(Weierstrass).柯西、康托、戴徳金等人利用各种形式, 对实数理论加以探讨2。最成功的当数意大利数学家的皮亚诺 (G. Peano)o它采舟集合与逻辑的观点来研究自然数，认为除逻辑的概念 和命题外，自然数全部理论只用三个概念(即1、数、后继)和五个基本 公理就可以演绎出来，使实数理论严密化，从而使其成为纯粹数学的基础。由此可见第一次危机的实质是无理数出现时，突破了原有公
7、理体系的 束缚，给原有数量知识结构以强有力的挑战，从而逼迫科学工作者们对数 量关系不得不重新加以分析和考虑。对无理数的认识恰恰成为数学向前发 展的动力。尽管这类探索“无限问题”的工作复杂，但人们在积极探索的 过程中发现了许多知识信息，开辟了关于数学许多新领域，使数学的知识 结构得到一定地调整，逻辑系统逐渐完善，最终导致问题解决。第二次数学危机是在17世纪微积分的产生。英国的牛顿和德国的莱 布尼兹等人利用无穷小量来解决速度、切线和求积的问题3。在这种算 法中无穷小量有时为零，有时不为零。由此引起有关无穷小量是否等于零 的争论。经过二百年时间，由柯西等人把分析学的基础建立在实数理论上, 而其又依靠
8、于集合论，使分析学有了可靠的基础和完整的体系，最终出现 微积分学。对于第二次数学危机的解决，庞加莱在1900年国际会议宣布 “数学的完全严格性已经达到了在1902年，英国的罗素对集合论提出 了悖论，即著名的“罗素悖论”。指出集合论自相矛盾的地方，由此出现 第二次数学危机4。本世纪初开始集合论的公理系统的研究，为保持数 学的严密性，剔除了罗索悖论，从而使此次危机暂时得到解决。任何事物都有矛盾性。正是由于矛盾的存在才导致事物不断地向前发 展。数学危机的解决只是表血现象，实质上这种危机更深刻地转化为其他 形式延续着。这种矛盾是固有属性为促进数学不断向前发展奠定了基础。 因此可以说孑盾是数学发展的动力
9、。人们认识客观事物总是由实践到认识，再由认识到实践，再认识，再 实践。丿力次危机都会给数学的发展带来新的问题，同时也在检验数学逻辑 的严密性。新的课题必会带来新的思维方法，使数学在继承和发展中不断 得到完善，更有意于指导人们认识自然界的客观规律，因此说，探索无限 给数学的发展带来机遇和挑战。3数学把“无限问题”纳入研究范畴是人类本身的需要数学把“无限问题”纳入研究范畴是人类认识自然和改造自然的客观 需要。从无穷小概念及其方法的产生、形成和发展的历史我们可以看到， 为了用数学的方法揭示和掌握“直”与“曲”、“离散”与“连续”、“均匀” 与“非均匀”、“有限”与“无限” Z间的区别与联系，人类一直
10、在不断的 努力探索。从认识论的角度看，实际是探索和研究无限的本质，以便于驾驭 客观规律。这也是人类大脑思维不断完善的一个过程。认识“无限问题”, 掌握事物发展变化规律，有利于培养我们运用全面、发展与变化的观点去 观察问题，分析和解决问题。同时数学的学习在一定程度可以说是逻辑思维的训 练，为保证逻辑思维的严密性，也不可能把“无限问题”排除在人类的认 识之外。从数学本身来讲，数学的方法具有高度概括性和抽象性，为其把握事 物的无限性提供了基础。事物的“无限问题”表现的多种多样。要从众多 的表象中抓住事物的不质，必须把事物现象进行分析、总结和概括，找到 事物的固有属性，以便于充分认识事物的规律性。总之，数学把“无限问题”作为研究对象是人类向前发展的客观要求。 尤其是在当今时代，科学技术推动生产力的飞速发展，给人们带来巨大物 质财富和丰富多彩的生活，充分说明了对“无限问题”的追求和探索是人 类永恒的主题。
