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1、第 5 讲数论 一教学目标数论问题本身范畴很广,我们考察学校奥数的内容,完全平方数等学问点跟基础课内容结合很紧密, 但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视本讲需要同学把握的学问点有：平方数性质，平方差公式，约数个数定理，约数和定理，辗转相除法等.本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,同学应当学会娴熟运用平方差公式,对于约数和倍 数部分,老师应当更留意其中的规律过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.专题回忆【例 1】 一个 5 位数,它的各位数字和为43,且能被 11 整除,求全部中意条件的5 位数【分析】 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11 整除,
2、但我们发觉被11 整除性质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手5 位数数字和最大的为95=45 ,这样 43 的可能性只有9,9,9,9,7 或 9,9,9,8,8这样我们接着用 11 的整除特点,发觉符合条件的有99979, 97999, 98989【例 2 】 已知 ABCA 是一个四位数,如两位数AB 是一个质数, BC 是一个完全平方数, CA 是一个质数与一个不为 1的完全平方数之积,就中意条件的全部四位数是 .【分析】 此题综合利用数论学问,由于AB 是一个质数,所以B 不能为偶数,且同时BC 是一个完全平方数,就符合条件的数仅为 16 ，36,当 B1 时
3、,中意 AB 是一个质数的数有 11,31,41 , 61, 71,时,此时同时保证 CA 是一个质数与一个不为1 的完全平方数之积,只有3163符合.当 B3 ,中意 AB 是一个质数的数有13 , 23 , 43 , 53, 73 , 83,此时同时保证 CA 是一个质数与一个不为 1的完全平方数之积,只有8368符合专题精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载分解质因数【例 1 】 2001个连续的自然数之和为abcd ,如 a ， b ， c ， d 都是质数,就 abcd 的最小值是多少？【分析】 遇到等量关系的表述时,先将其转化为数学语言设这 2001个连续自然数中最小的一个是A ,就
4、最大的一个是 A2000 遇到多个连续自然数问题,转化时一般均接受假设法,自己需要的量,题目中没有时,可以设未知数,就它们的和是：可编辑资料 - - - 欢迎下载AA2000 20012A10002001A100032329 ,就A1000是质数,所以A 的可编辑资料 - - - 欢迎下载最小值是 9 abcd 的最小值是： 1009323291064.拓展 101 个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积,那么这个最小的和应当是 分析 设这101个自然数中最小的数为a ,就 101 个连续自然数的和为：a + a +1+ a +2+ + a +100= a + a +100 1012=
5、 a +50 101由于 101 是质数,所以 a +50 必需是 3 个质数的乘积,要使和最小 经检验 a +50=66=2 311 最小,所以和最小为66101=6666铺垫 已知=,其中，分别表示不同的数字,那么四位数是多少？分析 因 为 10101 , 所 以 在 题 述 等 式 的 两 边 同 时 约 去 即 得 10101作质因数分解得 1010137 1337 ,由此可知该数分解为3 个两位数乘积的方法仅有 21 1337 留意到两位数 的十位数字和个位数字分别在另外的两位数和 中显现,所以 =13, = 37, = 21即 = 7 , = 1 , =3, = 2 ,所求的四位数
6、是 7132可编辑资料 - - - 欢迎下载【例 2】 N 为自然数, 且 N1 , N2 ， ，N9 与 690 都有大于 l 的公约数 N 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载【分析】 69023523 ,连续 9 个数中,最多有 5 个是 2 的倍数,也有可能有4 个是 2 的倍数,假如有 5 个连续奇数,这 5 个连续奇数中最多有2 个 3 的倍数, 1 个 5 的倍数, 1 个 23 的倍数, 所以必定有一个数不是2，3，5，23 的倍数,即与690 没有大于 l 的公约数所以 9 个数中只有 4 个奇数,这个数中, 有 2 个 3 的倍数,1 个 5 的倍数,1 个 23 的
7、倍数,就 N1，可编辑资料 - - - 欢迎下载N3 ， N5 ， N7 ， N9 是偶数,剩下的 4 个数中 N2 ， N8 是 3 的倍数（ 5 个偶数当中可编辑资料 - - - 欢迎下载只有 N5 是 3 的倍数）,仍有 N4 ， N6 一个是 5 的倍数,一个是 23 的倍数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载剩下的可以用中国剩余定理求解,N5 是 2 和 3 的倍数,且相邻两个数中一个是23 的倍数,另一个是 5 的倍数,明显 N524是最小解,所以 N 的最小值为 19约数，倍数【例 3】 已知,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,甲乙两数不是288 和 4 中的数,那么
8、甲乙两数的乘积为多少 .和为多少 .2【分析】 设甲乙两个数为 4x , 4 y , x 和 y 都不等于 1 或 72,就 x , y 两数互质,于是 4x , 4 y 的最小公可编辑资料 - - - 欢迎下载倍数为 4xy ,所以 xy28872 , 722343 ,由于 x , y 互质,所以 2 或 3不行能在 x , y 的因可编辑资料 - - - 欢迎下载子中都显现,所以x , y 一个是 8 一个是 9 ,所以两数的乘积等于4 y4 x4 4xy1152 ,和为可编辑资料 - - - 欢迎下载4x4 y48968 .【例 4】 有 15 位同学,每位同学都有编号,它们是1 号到
9、15 号 1 号同学写了一个自然数,2 号说： “这个数能被 2 整除 ”, 3 号说 “这个数能被3 整除 ”, ,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除, 1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问：说得不对的两位同学, 他们的编号是哪两个连续自然数？假如告知你,1 号写的数是五位数, 请求出这个数【分析】 第一可以确定编号是 2, 3, 4,5,6, 7号的同学说的确定都对不然,其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合因此,这个数能被 2, 3, 4, 5, 6, 7都整除其次利用整除性质可知,这
10、个数也能被25, 34, 27都整除,即编号为10,12, 14的同学说的也对从而可以确定说的不对的编号只能是8和9这个数是 2, 3, 4, 5, 6, 7,10, 11,12, 13,14, 15的公倍数, 由于上述十二个数的最小公倍数是60060,由于 60060 是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1 号同学写的数就是60060拓展 一个两位数有 6 个约数,且这个数最小的3 个约数和为 10,那么此数为几？分析 最小的三个约数中必定包括约数1,除去 1 以外另外两个约数和是9,由于 9 是 1 个奇数,所以这两个约数的奇偶性质确定是相反的,其中确定有一个是偶数,假如
11、一个数包含偶约数,那么它确定是 2 的倍数,即 2 是它的约数于是明显的,2 是这个数其次小的约数,而第三小的约数是7,所以这个两位数是14 的倍数,由于这个两位数的约数中不含3，4，5，6,所以这个数只能是14 或 98,其中有 6 个约数的是 98可编辑资料 - - - 欢迎下载约数个数定理：设自然数 n 的质因子分解式如123p a1 pa2 p a3np an .可编辑资料 - - - 欢迎下载那么 n 的约数个数为d na11a 21a 31a n1可编辑资料 - - - 欢迎下载aa 121aa121可编辑资料 - - - 欢迎下载自然数 n 的约数和为S nP1 1P1 1P1P
12、11P2 2P2 2P2P21可编辑资料 - - - 欢迎下载P anP an 1PP1可编辑资料 - - - 欢迎下载21nnnn【例 5 】 两数乘积为 2800,而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1 ,那么这两个数分别是42 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载【分析】2800257 ,由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1,所以这两个数中有一个数可编辑资料 - - - 欢迎下载5的约数为奇数个,这个数为完全平方数故这个数只能为2422242 ， 2 ， 5 ， 25 或 225 经检可编辑资料 - - - 欢迎下载验,只有两数分别为24 和 27 时符合条件,所以这两个
13、数分别是16和 175可编辑资料 - - - 欢迎下载铺垫 在三位数中,恰好有 9 个约数的数有多少个？分析91 933 ,所以 9 个约数的数可以表示为一个质数的8 次方, 或者两个不同质数的平方的乘积,前者在三位数中只有256 符合条件,后者中符合条件有100， 196， 484 ， 676， 225， 441,所以符合条件的有 7 个.【例 6】 两个整数 A ， B 的最大公约数是 C ,最小公倍数是 D ,并且已知 C 不等于 1,也不等于 A 或 B ,CD187 ,那么 AB 等于多少？【分析】 最大公约数 C ,当然是最小公倍数D 的约数,因此C 是 187 的约数, 18711 17 , C 不等于 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载只能是 C1
