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1、2020年广东省汕头市深澳中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）A若=m，n?，nm，则B若m，n，m、n?，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，与不一定垂直；在B中，与相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，与相交或平行【解答】解：由m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，知：在A中：若=m，n?，nm，则与不一定垂直，故A错误；在B中：
2、若m，n，m、n?，则与相交或平行，故B错误；在C中：若m，n，mn，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中：若m，n，mn，则与相交或平行，故D错误故选：C2. 已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A2 B C D参考答案：双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选3. 已知若，称排列为好排列，则好排列的个数为参考答案：C略4. 已知随机变量的分布列为下表所示，若，则D=（）101PabABC1D参考答案：B【考点】CG：离散型随机变量及其分布列【分析】由的分布列的性质得到+a+b=1，E（）=求得a、b的值，再利用离散型随机变量方差公式
3、求得D（）的值【解答】解：由E（）=1+0a+1b=，整理得b=，由+a+b=1，a=1=，D（）=（1）2+（0）2+（1）2=故选：B5. 已知函数，正实数、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：；其中可能成立的个数为(*).A1 B2 C3 D4参考答案：B6. 复数等于(A) . (B). (C) . (D).参考答案：B略7. 、是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值是 （ ）A B C D 参考答案：B8. 小明同学根据下表记录的产量（吨）与能耗（吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了关于的线性回归方程，据此模型预报产量为7吨时能耗为（ ）A. B. C
4、. D. 参考答案：B9. 我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）A3步 B6步 C4步 D8步参考答案：B由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)10. 将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）A B C. D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是
5、第四象限角，且，则cos=参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由两角和的正弦函数化简已知的等式，由平方关系列出方程，结合题意和三角函数值的符号判断出：sin0、cos0，联立方程后求出cos的值【解答】解：由得，则，又sin2+cos2=1，因为是第四象限角，sin0、cos0，由解得，cos=，故答案为：12. 若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为_ .参考答案：(0,1/2 略13. 若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为 .参考答案：-2014. 已知3sin+4cos=5，则tan= 参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由3sin+4cos=5，可得5s
6、in（+）=5（tan=），进而可得tan=tan（2k+）=【解答】解：3sin+4cos=5，5sin（+）=5（tan=）sin（+）=1=2k+，tan=tan（2k+）=故答案为：15. 若，则的值为_参考答案：试题分析：由诱导公式，得，故答案为考点：1、诱导公式的应用；2、倍角公式的应用16. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 参考答案：【知识点】几何概型【试题解析】故答案为：17. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_.参考答案：2三、 解答题：本大题共5小题，共72分
7、。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.()确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;()若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)参考答案：(1)由已知,得所以
8、2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 4分x的分布为X11.522.53PX的数学期望为 . 6分()记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 . 8分由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以 . 11分故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.12分19. (本题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，/，平面平面，为的中点，是棱上的点，（1）若点是棱的中点，求证：平面；（2）若二面角为，试确定点的位置. 参考答案
9、：20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线l与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为.若直线与直线l相交于点，与直线相交于点，求的最小值.参考答案：（1）由已知，有，即.，.设点的纵坐标为.则，即.，.椭圆的方程为.（2）由题意知直线l的斜率不为0，故设直线l：.设，.联立，消去x，得.此时.，.由弦长公式，得.整理，得.又，.，当且仅当，即时等号成立.当，即直线l的斜率为时，取得最小值2.21. 如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为.(I) 当时，求椭圆
10、的方程；(II) 延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且在与之间运动,当的边长恰好是三个连续的自然数时，求面积的最大值参考答案：解：(I)当时，则，.设椭圆方程为，则，又，所以.所以方程为. (II) 因为，则，设椭圆方程为.由得, 即，得代入抛物线方程得，即.，因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以.此时抛物线方程为，直线方程为.联立得，即.所以，代入抛物线方程得，即. 设到直线的距离为则.当时，面积的最大值为.略22. （本题满分14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）设动直线与曲线相切于点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由参考答案：
