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1、2020-2021学年福建省福州市长乐华侨中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 如图,正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上,点在球面上,如果,则球的表面积是(A) (B) (C) (D)参考答案:答案:D解析:如图,正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上,点在球面上,PO底面ABCD,PO=R,所以,R=2,球的表面积是,选D.2. 在平面直角坐标系中,角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,点P(2t,t)(t0)是角终边上的一点,则的值为()AB3CD参考答案:D【考点】G9:
2、任意角的三角函数的定义【分析】利用三角函数的定义,和角的正切公式,即可得出结论【解答】解:点P(2t,t)(t0)是角终边上的一点,tan=,=故选:D3. 以下说法错误的是()A命题“若“x23x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x1,则x23x+20”B“x=2”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若命题p:存在x0R,使得x02x0+10,则p:对任意xR,都有x2x+10D若p且q为假命题,则p,q均为假命题参考答案:D【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题;转化思想;简易逻辑【分析】A利用逆否命题的定义即可判断出正误;B由x23x+2=0,解得x=1,2,即可判断出关系;C
3、利用p的定义即可判断出;D由p且q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,即可判断出正误【解答】解:A“若“x23x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x1,则x23x+20”,正确;B由x23x+2=0,解得x=1,2,因此“x=2”是“x23x+2=0”的充分不必要,正确;C命题p:存在x0R,使得x02x0+10,则p:对任意xR,都有x2x+10,正确;D由p且q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,因此不正确故选:D【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题4. 已知集合A=0,1,2,3,B=2,3,4,5,则AB中元素的个数为( )A2
4、B3 C4 D5参考答案:AAB= 0,1,2,32,3,4,5=2,3,故AB中元素的个数为2.5. “”是“函数的最小正周期为”的( )必要不充分条件 充分不必要条件充要条件 既不充分也不必要条件参考答案:B略6. 若a=2(x+|x|)dx,则在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有()A13项B14项C15项D16项参考答案:C【考点】二项式系数的性质【分析】a=2(x+|x|)dx=+2=18再利用通项公式即可得出【解答】解:a=2(x+|x|)dx=+2=18则在的通项公式:Tr+1=(1)r(r=0,1,2,18)只有r=0,6,12,18时x的幂指数是整数,因此x的幂指数不是整
5、数的项共有194=15故选:C【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7. 设集合,则等于( )A. B.C. D.参考答案:A试题分析:由,得,解得,由,得,因此,故答案为A.考点:1、指数不等式的应用;2、集合的交集.8. 如右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是ABCD 参考答案:B略9. 用一个半径为2cm的半圆围成一个圆锥,则圆锥底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC cmD cm参考答案:A【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)【分析】首先求得扇形的弧长,即圆锥的底面周长,然后根据圆的周长公式即可求得半径【解答】解:圆锥
6、的底面周长是:2cm,设圆锥的底面半径是r,则2r=2,解得:r=1故选:A10. 已知函数,若在区间内,函数与轴有3个不同的交点,则实数的取值范围是( )A、B、 C、 D、参考答案:C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图,四面体中,两两垂直,且 . 给出下列命题:存在点(点除外),使得四面体仅有3个面是直角三角形;存在点,使得四面体的4个面都是直角三角形;存在唯一的点,使得四面体是正棱锥(底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心,这样的棱锥叫做正棱锥);存在唯一的点,使得四面体与四面体的体积相等;存在无数个点,使得与垂直且相等.其中正确命题的序号是
7、(把你认为正确命题的序号都填上) 参考答案:略12. 从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数记为x,则log2x为整数的概率为参考答案:考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题: 概率与统计分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果,满足条件的事件是对数log2x是一个正整数,可以列举x,有1,2,4,8,共有4种结果,根据概率公式得到结果解答: 解:从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数记为x,共有9种基本事件,其中log2x为整数的x=1,2,4,8共4种基本事件,故则log2x为整数的概率为,故答案为:点评: 本题考
8、查古典概型,考查对数的性质,是一个比较简单的综合题,解题的关键是看清楚有几个数字使得对数的值是一个正整数13. 已知ABC的三个顶点,其外接圆为H.对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,则C的半径r的取值范围 参考答案:14. 已知边长为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上,若,二面角的余弦值为,则该球的体积为_参考答案:【分析】先由题意得到与均为等边三角形,取中点,连结,在,上分别取,使得,得到分别为与外接圆圆心,记空间四边形外接球球心为,得到平面,平面,再由题中数据,结合二倍角公式、勾股定理以及球的体积公式,即可求出结果.【
9、详解】因为空间四边形的各边长均为,又,所以与均为等边三角形;取中点,连结,在,上分别取,使得,则分别为与外接圆圆心,记空间四边形外接球球心为,则平面,平面;因为二面角的余弦值为,即,由题意,所以,因为,所以,因此空间四边形ABCD外接球半径为所以,该球的体积为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体外接球的体积,熟记球的体积公式,结合题中条件即可求解,属于常考题型.15. 在四边形ABCD中,则四边形ABCD的面积是 .参考答案:16. 设集合 ,则集合中元素的最小值是 参考答案:17. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(0,+)时,f(x)=2017x+log2017x,则f(x)在
10、R上的零点的个数为 参考答案:3【考点】52:函数零点的判定定理【分析】x0时,求f(x),并容易判断出f(x)0,所以f(x)在(0,+)上是单调函数然后判断有没有x1,x2使得f(x1)f(x2)0:分别取x=20172017,1,便可判断f0,f(1)0,从而得到f(x)在(0,+)上有一个零点,根据奇函数的对称性便得到f(x)在(,0)上有一个零点,而因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,这样便得到在R上f(x)零点个数为3【解答】解:x0时,f(x)=2017xln2017+0,f(x)在(0,+)上单调递增,取x=20172017,则f=20170,又f(1)=20170;f(x
11、)在(0,+)上有一个零点,根据奇函数关于原点对称,f(x)在(,0)也有一个零点;又f(0)=0;函数f(x)在R上有3个零点故答案为:3三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本题满分12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点M是A1B的中点,点N是B1C的中点,连接MN(1)证明:MN/平面ABC;(2)若AB=1,AC=AA1=,BC=2,参考答案:()证明:连接AB1,四边形A1ABB1是矩形,点M是A1B的中点,点M是AB1的中点;点N是B1C的中点,MN/AC,MN平面ABC,AC平面ABC,MN/平面ABC 三棱柱为直三棱柱
12、, ,如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,),如图,可取为平面的法向量,设平面的法向量为,则,,则由又,不妨取m=1,则,可求得, 19. 如图,圆锥的横截面为等边三角形SAB,O为底面圆圆心,Q为底面圆周上一点()如果BQ的中点为C,OHSC,求证:OH平面SBQ;()如果AOQ=60,QB=2,求该圆锥的体积参考答案:【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定【分析】()连接OC,AQ,由已知可得OCAQ,再由AB为圆的直径,可得OCBQ,由SO平面ABQ,得SOBQ,由线面垂直的判定可得BQ平面SOC,
13、进一步得到平面SBQ平面SOC,由面面垂直的性质可OH平面SBQ;()由已知求解三角形可得OQ=OA=2,SA=4,则SO=由已知体积公式求得圆锥的体积()证明:连接OC,AQ,O为AB的中点,且BQ的中点为C,OCAQ,AB为圆的直径,AQB=90,OCBQ,SO平面ABQ,SOBQ,又SOOC=O,BQ平面SOC,则平面SBQ平面SOC,又平面SBQ平面SOC=SC,OHSC,OH平面SBQ;()解:AOQ=60,QB=2,OC=1,OQ=OA=2,SA=4,则SO=圆锥的体积V=20. (本小题满分12分)班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值;(2)假设学生每天在家学习时间为18时至23时,已知甲每天连续学习2小时,乙每天连续学习3小时,求22时甲、乙都在学习的概率参考答案:解:()平均学习时间为. (6分)()设甲开始学习的时刻为x,乙开始学习的时刻为y,试验的全部结果所构成的区域为 =(x,y)|18x21,18y20,面积S = 23=6.事件A表示“22时甲、乙都在学习”,所构成的区域为A=(x,y)|2