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1、2020-2021学年福建省福州市长乐华侨中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（A） （B） （C） （D）参考答案：答案：D解析：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面积是，选D.2. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P（2t，t）（t0）是角终边上的一点，则的值为（）AB3CD参考答案：D【考点】G9：
2、任意角的三角函数的定义【分析】利用三角函数的定义，和角的正切公式，即可得出结论【解答】解：点P（2t，t）（t0）是角终边上的一点，tan=，=故选：D3. 以下说法错误的是（）A命题“若“x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”B“x=2”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若命题p：存在x0R，使得x02x0+10，则p：对任意xR，都有x2x+10D若p且q为假命题，则p，q均为假命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；简易逻辑【分析】A利用逆否命题的定义即可判断出正误；B由x23x+2=0，解得x=1，2，即可判断出关系；C
3、利用p的定义即可判断出；D由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误【解答】解：A“若“x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”，正确；B由x23x+2=0，解得x=1，2，因此“x=2”是“x23x+2=0”的充分不必要，正确；C命题p：存在x0R，使得x02x0+10，则p：对任意xR，都有x2x+10，正确；D由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确故选：D【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 已知集合A=0,1,2,3，B=2,3,4,5，则AB中元素的个数为（ ）A2
4、B3 C4 D5参考答案：AAB= 0,1,2,32,3,4,5=2,3，故AB中元素的个数为2.5. “”是“函数的最小正周期为”的（ ）必要不充分条件 充分不必要条件充要条件 既不充分也不必要条件参考答案：B略6. 若a=2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A13项B14项C15项D16项参考答案：C【考点】二项式系数的性质【分析】a=2（x+|x|）dx=+2=18再利用通项公式即可得出【解答】解：a=2（x+|x|）dx=+2=18则在的通项公式：Tr+1=（1）r（r=0，1，2，18）只有r=0，6，12，18时x的幂指数是整数，因此x的幂指数不是整
5、数的项共有194=15故选：C【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7. 设集合，则等于（ ）A. B.C. D.参考答案：A试题分析：由，得，解得，由，得，因此，故答案为A.考点：1、指数不等式的应用；2、集合的交集.8. 如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是ABCD 参考答案：B略9. 用一个半径为2cm的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（）A1 cmB2 cmC cmD cm参考答案：A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径【解答】解：圆锥
6、的底面周长是：2cm，设圆锥的底面半径是r，则2r=2，解得：r=1故选：A10. 已知函数，若在区间内，函数与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A、B、 C、 D、参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，四面体中，两两垂直，且 . 给出下列命题：存在点（点除外），使得四面体仅有3个面是直角三角形；存在点，使得四面体的4个面都是直角三角形；存在唯一的点，使得四面体是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；存在唯一的点，使得四面体与四面体的体积相等；存在无数个点，使得与垂直且相等.其中正确命题的序号是
7、（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案：略12. 从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为参考答案：考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题： 概率与统计分析： 本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果解答： 解：从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：点评： 本题考
8、查古典概型，考查对数的性质，是一个比较简单的综合题，解题的关键是看清楚有几个数字使得对数的值是一个正整数13. 已知ABC的三个顶点，其外接圆为H.对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则C的半径r的取值范围 参考答案：14. 已知边长为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，二面角的余弦值为，则该球的体积为_参考答案：【分析】先由题意得到与均为等边三角形，取中点，连结，在，上分别取，使得，得到分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，得到平面，平面，再由题中数据，结合二倍角公式、勾股定理以及球的体积公式，即可求出结果.【
9、详解】因为空间四边形的各边长均为，又，所以与均为等边三角形；取中点，连结，在，上分别取，使得，则分别为与外接圆圆心，记空间四边形外接球球心为，则平面，平面；因为二面角的余弦值为，即，由题意，所以，因为，所以，因此空间四边形ABCD外接球半径为所以，该球的体积为.故答案为【点睛】本题主要考查几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，结合题中条件即可求解，属于常考题型.15. 在四边形ABCD中，则四边形ABCD的面积是 .参考答案：16. 设集合 ，则集合中元素的最小值是 参考答案：17. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x（0，+）时，f（x）=2017x+log2017x，则f（x）在
10、R上的零点的个数为 参考答案：3【考点】52：函数零点的判定定理【分析】x0时，求f（x），并容易判断出f（x）0，所以f（x）在（0，+）上是单调函数然后判断有没有x1，x2使得f（x1）f（x2）0：分别取x=20172017，1，便可判断f0，f（1）0，从而得到f（x）在（0，+）上有一个零点，根据奇函数的对称性便得到f（x）在（，0）上有一个零点，而因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，这样便得到在R上f（x）零点个数为3【解答】解：x0时，f（x）=2017xln2017+0，f（x）在（0，+）上单调递增，取x=20172017，则f=20170，又f（1）=20170；f（x
11、）在（0，+）上有一个零点，根据奇函数关于原点对称，f（x）在（，0）也有一个零点；又f（0）=0；函数f（x）在R上有3个零点故答案为：3三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN（1）证明：MN/平面ABC；（2）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，参考答案：（）证明：连接AB1，四边形A1ABB1是矩形，点M是A1B的中点，点M是AB1的中点；点N是B1C的中点，MN/AC，MN平面ABC，AC平面ABC，MN/平面ABC 三棱柱为直三棱柱
12、， ，如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,)，如图，可取为平面的法向量，设平面的法向量为，则,，则由又，不妨取m=1，则，可求得， 19. 如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点（）如果BQ的中点为C，OHSC，求证：OH平面SBQ；（）如果AOQ=60，QB=2，求该圆锥的体积参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（）连接OC，AQ，由已知可得OCAQ，再由AB为圆的直径，可得OCBQ，由SO平面ABQ，得SOBQ，由线面垂直的判定可得BQ平面SOC，
13、进一步得到平面SBQ平面SOC，由面面垂直的性质可OH平面SBQ；（）由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，则SO=由已知体积公式求得圆锥的体积（）证明：连接OC，AQ，O为AB的中点，且BQ的中点为C，OCAQ，AB为圆的直径，AQB=90，OCBQ，SO平面ABQ，SOBQ，又SOOC=O，BQ平面SOC，则平面SBQ平面SOC，又平面SBQ平面SOC=SC，OHSC，OH平面SBQ；（）解：AOQ=60，QB=2，OC=1，OQ=OA=2，SA=4，则SO=圆锥的体积V=20. （本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率参考答案：解：（）平均学习时间为. （6分）（）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为 =(x，y)|18x21，18y20，面积S = 23=6.事件A表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A=(x，y)|2
