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1、2020-2021学年河南省开封市大营乡第一中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A1条 B2条 C3条 D4条参考答案：C略2. 在二面角a-l-b 的半平面a内，线段ABl，垂足为B；在半平面b内，线段CDl，垂足为D；M为l上任一点若AB=2，CD=3，BD=1，则AM+CM的最小值为 A B C D参考答案：A设，则，建立平面直角坐标系，看作动点到两定点距离之和，最小值为直线段SQ的长,选A.评：本题也可以将二面角展平成一个平面，这样
2、，只须求出在“平面”内A、C之间的距离即为AM+CM的最小值3. 6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为（ ）A12 B9 C6 D5参考答案：B略4. 分别是双曲线的左、右焦点，是其右支上一点，若则的内切圆方程是 （ ）A BCD参考答案：C5. 设是等比数列，是的前n项和，对任意正整数n，有 又,则的值为A2 B200 C-2 D0参考答案：A6. “”是“两直线和互相垂直”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件参考答案：A7. 复数（i是虚数单
3、位），则z在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：C略8. 沿一个正方体三个方面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）参考答案：B略9. 若集合中元素的个数为（）A 3个B2个C1个D0个参考答案：考点：集合中元素个数的最值专题：计算题；集合分析：先求出集合A，由集合B的定义求出元素即可解答：解：集合，A=1，2，3，4，5，6 B=1，2，4；故选：A点评：本题考查了集合的化简与集合中元素的求法，属于基础题10. 若方程的根在区间（，）（）上，则的值为（ ） A1 B1 C1或2 D1或1参考答案：D画出与在同一坐标系中的图象，交点横
4、坐标即为方程的根。故选择D。如图所示。一根，对应的，另一根，对应的，故选择D。本题根从图象上可得。可构造函数，利用零点定理判断。因为，所以。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面向量，的夹角为，|=2，|=1，则|+|= 参考答案：考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：运用数量积的定义求解得出=|?|cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=|2+|2+2，代入数据求解即可解答：解：平面向量，的夹角为，|=2，|=1，=|?|cos=2=1，|+|2=（）2=|2+|2+2=4+12=3，即|+|=故答案为：点评：本题考查了平面向量的
5、数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题12. 设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：c=0时，有f（x）=f（x）成立；b=0，c0时，函数y=f（x）只有一个零点；y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；函数y=f（x）至多有两个不同零点上述四个命题中所有正确的命题序号是 参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质【分析】将c=0代入，判断f（x）=f（x）是否成立，可判断；将b=0代入分析函数的单调性及值域，可判断；根据函数的对称变换，求出函数关于（0，c）对称后的解析式，与原函数解析进行比较后，可判断；举出反例b=2，c=0时，函数有三个零点，可判
6、断【解答】解：当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（x）=（x|x|+bx）=f（x），故正确；f（x）=x|x|在R上为增函数，值域也为R，当b=0，c0时，f（x）=x|x|+c在R上递增，值域也为R，有且只有一个零点，故正确；由f（x）=x|x|+bx+c关于（0，c）对称的函数解析式为2cf（x）=2c（x|x|bx+c）=x|x|+bx+c，故正确；当b=2，c=0时，f（x）=x|x|2x有2，0，2三个零点，故错误；故所有正确的命题序号是故答案为：13. 若向量满足且则向量的夹角为_.参考答案： 14. （2016郑州一测）已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量，若，则的最
7、大值为_参考答案：设， ，15. 已知等比数列的公比,其前4项和,则 .参考答案：8略16. 如图，在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，E、F是AB上的两个三等分点，G、H是AC上的两个三等分点，则的最小值为 . 参考答案：117. 已知两条直线和互相平行，则等于 .参考答案：或 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分） 已知数列 an的前n项和为Sn，且Sn=2an l；数列bn满足bn1=bn=bnbn1（n2，nN*）b1=1 （）求数列an，bn的通项公式； （）求数列的前n项和T参考答案：解：（）由，得
8、，所以.又，两式相减，得,.所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列. （4分）由，得.又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. （8分）（），.两式相减，得.所以，. （12分）略19. （本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BN；（2）设为直线与平面所成的角，求的值；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP/平面CNB1 ，求参考答案：（1）证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直。 2分以BA，BC，BB1分别为轴建立空
9、间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）（0,0,4）=0 BNNB1，BNB1C1且NB1与B1C1相交于B1，BN平面C1B1N； -4分（2）设为平面的一个法向量，则 则 -8分（3）M（2,0,0）设P(0,0,a)为BC上一点,则, MP/平面CNB1, 又,当PB=1时MP/平面CNB1 -12分20. （08年宁夏、海南卷理）（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为y=3（）求的解析式：（）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）证明：曲
10、线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值参考答案：【解析】（），于是解得或因，故（）证明：已知函数，都是奇函数所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形（）证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令得，切线与直线交点为令得，切线与直线交点为直线与直线的交点为从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值21. 如图，点A在坡度一定的山坡上.已知在点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m后，又从点B测得斜度为45.假设建筑物
11、高50 m，求此山坡对于地平面的坡角.参考答案：在ABC中，AB=100 m，CAB=15,ACB=45-15=30.由正弦定理得所以BC=200sin 15.在DBC中，CD=50 m，CBD=45,CDB=90+.由正弦定理得，所以所以=42.94.22. （本小题12分）已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥ABCD，如图所示（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM平面ACD；（II）求证：；（III）求二面角的余弦值参考答案：(I) 在正方形ABCD中，是对角线的交点，O为BD的中点， M为AB的中点， OMAD. 又AD平面ACD，OM平面ACD， OM平面ACD. （II）证明：在中， ，. 又 是正方形ABCD的对角线， 又. （III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系.则， 是平面的一个法向量.， 设平面的法向量,则，.即， 所以且令则，解得. 从而，二面角的余弦值为.
