第八讲 比例模型 1鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比.S1S1 A D D A E E B C B C即有关系式存在2、风筝模型 （蝶形定理）任意四边形中的比例关系：①或者②①②；③的对应份数为．3相似模型①；②正确识别各种图形所属的模型，并正确熟练运用比例模型中的关系例1如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．答案 70平方厘米解析连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米例2 已知的面积为平方厘米，，求的面积．答案24平方厘米解析，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米例3 如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为．答案 2.7解析如图，连接．根据蝶形定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．例4 如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是．答案 40解析连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．例5 四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．答案 2:1解析∵，∴，∴例6 如图， 中，，，互相平行，，则 ．答案 1:3:5解析设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以A1如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？答案 12.5平方厘米解析由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份， 份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米2 如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比．答案 1/18解析连接、．根据共角定理 ∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．3如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．答案 5/12解析方法一：连接，根据燕尾定理，，, 设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于．4 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？答案 6 1:3解析⑴根据蝶形定理，，那么；⑵根据蝶形定理，．5 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．答案 4 2/3解析⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝶形定理，，所以，那么．B6如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．答案 平方厘米解析连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．7 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．答案 1平方厘米解析因为是边上的中点，所以，根据梯形蝶形定理可以知道，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．8 在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．答案 12平方厘米解析连接，根据题意可知，根据蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．9 已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．答案 21平方厘米解析 连接．由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝶形定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．10右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)阴影部分的面积是平方厘米．答案 6平方厘米解析 连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝶形定理，，故，所以(平方厘米)．C11右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．答案 4平方厘米解析连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝶形定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．12 在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。
且AF=CE，DE=BG已知四边形ABCD的面积为1，求△EFG的面积答案 1解析分别用a、b、c、d表示△CDE、△ADE、△ABE、△BCE由鸟头模型，可知：a:S△EFG=(CEDE):(EFEG);b:S△EFG=(AEDE):(EFEG);c:S△EFG＝(AEBE):(EFEG);d:S△EFG＝(CEBE):(EFEG).因此，(a+b+c+d):4S△EFG＝(CEDE+AEDE+AEBE+CEBE):(EFEG)=[DE(AE+CE)+BE(AE+CE)]:(EFEG)=[(AE+CE)(BE+DE)]:(EFEG)=(ACBD):(EFEG)因为AF=EC、DE＝BG，可知BD=EG、EF＝AC，因此(ACBD):(EFEG)=1，即S△EFG＝S四边形ABCD=113 如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米．答案 10平方厘米解析 由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，，故(平方厘米)．14 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．答案 18解析用共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以．．15 如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？答案 12平方厘米解析连接、．因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，，所以平方厘米．1如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？答案 5解析连接．∵，∴，又∵，∴，∴，2如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．答案平方厘米解析连接， 所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．3 长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？答案 13.5解析寻找可利用的条件，连接、，如下图： 可得：、、，而 即；，． 所以阴影部分的面积是：4如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？答案 48平方厘米解析 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍．因此，平行四边形的面积为(平方厘米)．5 如图， 中，，，，，互相平行，，则 ．答案 1:3:5:7:9解析 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有 1如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．答案 70平方厘米解析连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．2如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？答案 15解析连接．∵ ∴又∵∴，∴．3 如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成. 问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？答案一样大解析图中有多个。
因为白色石板均为正方形（如图）因此AB=AD、AE=AC，推出S△ADE:S△ABC＝(ADAE):（ABAC)＝1:1，即两三角形面积相等同理可知内圈红色三角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等4、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，E、F为BC边上的三等分点，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？答案4/9解析 三角形ADG的面积：三角形ABC的面积=(A。