第四章根轨迹分析法系统闭环特征方程的根的位置决定闭环系统的稳定性和动态特性伊凡思(W.R.Evans)创立根轨迹法（1948）几何图解求解特征根l系统中某一参数在全部范围内（0）变化时，系统闭环特征根随之变化的轨迹l可以推广到其它参数的变化广义根轨迹l可用于单变量系统和多变量系统l常规根轨迹法以开环增益K做为参数画出根轨迹的l利用这些在s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控制系统本章主要内容q以K为变量的常规根轨迹的绘制方法q以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法q根轨迹分析方法的应用利用根轨迹分析和设计控制系统1根轨迹举例例4-1二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹K开环传递函数：分析： 有2个开环极点没有开环零点闭环特征方程求出2个闭环特征根：（4-1-1）闭环特征根是K的函数当K从0变化，闭环特征根在根平面上形成根轨迹闭环传递函数：K取不同值：（等于两个开环极点）ImRe0(两根重合于0.5处)（即0K1/4，两根为实根）10.5(两根为共轭复数根，其实部为0.5) 总结：q有两个闭环极点，有2条根轨迹q根轨迹是从开环极点出发点q通过选择增益K，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上q如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K值实现设计要求。
ImRe01 0.5 这是个？阶系统，2q根轨迹上的点与K值一一对应根轨迹是连续的4.2根轨迹绘制的基本规则1、根轨迹的基本关系式典型的反馈控制系统如图:G(s)H(s)其开环传递函数：（4-2-1）其中：K:开环增益，开环零点， 开环极点闭环传递函数：闭环特征方程为：它们满足：G(s)H(s)G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：-1绘制根轨迹必须满足的基本条件：（相角公式：积的相角等于相角的和，商的相角等于相角的差）幅值条件相角条件（积的模等于模的积，商的模等于模的商）注意：1.这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，所有满足以上两式的s值都是系统的特征根，把它们在s平面上画出，就构成了根轨迹2.观察两式，均与开环零极点有关，也就是说，根轨迹是利用开环零极点求出闭环极点画法：1. 利用相角条件，找出所有满足相角条件的s值，连成根轨迹2. 确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的K值相角条件幅值条件2、绘制根轨迹的基本规则例4-4要求画出根轨迹某单位反馈系统分析：1个开环零点，3个开环极点，0-5-2-10规则一、根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。
例中，规则二、根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远点根轨迹是K从0时的根变化轨迹，因此必须起于K=0处，止于K=处观察幅值条件：如果nm,m条根轨迹趋向开环的m个零点，而另n-m条根轨迹趋向无穷远处对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处规则三、根轨迹的连续对称性：根轨迹各分支是连续的，且对称于实轴证明：（1）连续性从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连续的证明：（2）对称性因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对称于实轴对于例题，在实轴上的根轨迹：0 1 2 5一条始于开环极点，止于开环零点，另两条始于开环极点，止于无穷远处规则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹渐近线：根轨迹有n-m条渐进线渐近线与实轴的夹角为：渐近线与实轴的交点为：l它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状规则五、规则六、性质:(重点讨论实轴上的分离点）q在此点上必出现重根。
q 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴上两相邻开环极点间时，必有一分离点q 若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷远处）时，必有一分离点K=0K=0K=K=分离点分离点根轨迹的分离点：当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离点由求极值的公式求出：它们可以利用代数重根法或极值法求出介绍后者)在实轴根轨迹上，求使K达到最大（最小）值的s值:注意：求出结果，需经判断，保留合理解如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去在例题4-4中，解出：对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐标为（-0.447,j0）处012 510.447规则七、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统出现虚根 在例4-4中，系统闭环特征方程式为：即：令虚轴的交点：代入上式，得与虚轴的交点为例4-4的根轨迹如图012 51K=.084 .4471、画出开环零极点2、确定根轨迹根数3、画出实轴上的根轨迹4、求渐进线（nm）5、求分离点6、求与虚轴交点7、画出根轨迹 8、求出特殊点对应的K值K值由根轨迹幅值条件求出：如分离点（-0.447,j0）处的K值：规则八、根轨迹的出射角：在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此点出发（进入）的方向角度。
可根据相角条件求出例4-5设系统开环零极点图如图其中图4-7确定根轨迹离开共轭复数根的出射角根据公式：考虑到根轨迹的对称性，出射角p3=-5，p4=5例4-6作的根轨迹开环极点3个：分析：n=3，m=0,没有开环零点在s平面上的极点处标以“”，)根据规则一、二、三：根据规则四，实轴上0-为根轨迹分别起始于3个开环极点，均终止于无穷远处根轨迹有三个分支：图4-8根据规则五，求渐近线:n-m=3条例4-6渐近线与实轴夹角：渐近线与实轴的交点：-2.767 60没有分离点例4-6根据规则七：求出根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程：K=256-j5.66j5.66令s=jw,代入上式令实部和虚部同时等于0，可解得例4-6根据规则八求起始角：对P2，根轨迹的起始角为：由对称性知：-4-j4处的射角为45j5.66-j5.66根轨迹完成例4-7作的根轨迹该系统n=3，m=1根据规则一、二、三：一个零点：有三个开环极点：-2-4-6-12该根轨迹有三个分支,分别起始于p= 0(两条)和p=-12处，有一个分支终止于z=-1,另两个分支趋于无穷远根据规则四：实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间例4-7根据规则五：渐近线有2条，n-m2。
5.5渐近线夹角：渐近线与实轴的交点：-2-4-6-12例4-7根据规则七、求根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程是：K=0，s=02-4-6-12令s=jw,代入上式令实部和虚部同时等于0，可解得例4-7根据规则六、求分离点则：s1=-5.18,s2=-2.31，s30可知一部分根轨迹为圆据此，可画出根轨迹均在根轨迹上大Ks1小Ks2-2-4-6-12求出分离角为:-5.5例4-7利用幅值条件，可求出分离点的K值s2是第一分离点，s1是第二分离点完整的绘出根轨迹如图4-9所示2-4-6-12图4-9s1=-5.18,s2=-2.31，s304.3广义根轨迹常规根轨迹以开环增益K为可变参量这些参数必须以线性形式出现在特征方程中如某些开环零极点、调节器PID参数或者系统的时间常数等）广义根轨迹其它参数为变量1、单参数根轨迹绘制参数根轨迹的步骤如下：(2)列写以新的变量表示的等效系统开环传递函数(GH )e(1)写出原系统的闭环特征方程式；l概念：指具有相同的闭环特征方程：l做法：从原系统的闭环特征方程出发，把与新变量有关的项写到分子上，其余部分写在分母上这样，参变量移到K的位置因而具有相同的闭环特征根。
3)把等效系统的参数当作原系统中的增益K，以常规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹绘制参数根轨迹的关键是得到等效开环传递函数等效开环传递函数1）等效开环传递函数以下图所示的调节系统为例说明Gc(s) R(s)Y(s)1、2、Gc(s) R(s)Y(s)3、Gc(s) R(s)Y(s)参数根轨迹绘制总结：l关键点要把新参数移到原K的位置上，利用常规根轨迹的画法等效只等效在闭环特征方程和它的解(闭环极点)上，不等效在闭环传递函数上l移动的原则是等效系统的闭环特征方程必须和原系统相同必须注意：参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响，不能用于分析整个闭环系统闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的闭环过程也有影响2）参数根轨迹的画法绘制当对象的开环极点p变化时的参数根轨迹例4-8开环传递函数：开环极点：闭环特征方程:K=4等效系统的开环传递函数 R(s)Y(s)分析：l等效系统有两个开环极点，一个开环零点0l根轨迹起点于，终止于零和无穷远处渐近线：Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2求分离点坐标：l负实轴为根轨迹，有一分离点P=0把s-2代入p的公式，求出此点p=4研究开环极点对闭环极点的影响分离角为90。
K=4还可以画出在p=0时，K从零到无穷大变化时的根轨迹此时，系统的开环传递函数为：闭环特征方程：根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴趋向无穷远处的轨迹求特殊点的K值0j2(K=4)-j2(K=4)p=0在处两图都有K=4，p=0比较开环极点：Im(s)Re(s)-2PPP=0j2-j2P=0K=44.4利用根轨迹分析控制系统l主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素l系统特征根在S平面上的位置与动态指标的关系l目的在于给出系统设计的指导方向l改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统控制质量的影响一、特征根与系统动态指标的关系j5010-5112233见图它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图的虚部，1和3有相同2和3有相同的实部；轴有相同的夹角；1和2对实在s左半平面有三类共轭复根，y1.500.52.5t11.521123共轭复根y1.500.52.5t11.52112y1.500.52.5t11.52113y1.500.52.5t11.52123j5010-5112233特征根与系统动态指标的关系1、超调量和衰减比n超调量衰减比它们与实轴的夹角：如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时，在s平面上与实轴有相同夹角的直线叫等线，落在等线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。
越小，系统越振荡，超调量越大，衰减比越小，相对的稳定性变差等线越靠近虚轴，y1.500.52.5t11.5211212它是极点虚部的函数在s平面上平行于实轴的直线叫作等频线(等线)落在这条线上的极点具有相同的虚部，它们的峰值时间相同，振荡频率相同2、峰值时间tp等频线离实轴越远，则tp越短，振荡频率越高，tp反比于虚部值y1.500.52.5t11.52113j5010-5133、调节时间ts（过渡时间）它是极点实部的函数在s平面上平行于虚轴的直线叫作等线等线离虚轴越远，它所对应的过渡过程时间ts越短ts与实部值成反比落在这条线上的极点具有相同的实部，它们对应相同的调节时间y1.500.52.5t11.52123234、余差余差是系统的稳态值与设定值之差这个指标是系统达到稳定以后的性质，属于静态指标，而前面所述的几种是动态指标余差可以从闭环传递函数的终值定理求得这个指标与过渡过程的暂态部分无关，即与特征根无关，因而不能表示在根平面上等频线综上所述， 在五种常用的质量指标中，四种动态指标可以在根平面中用三种直线表示l衰减比和超调量都可以用等线代表i0等线等线合格区l当系统主要的特征根落在这个合格区内时，控制系统的质量就可达到原定的要求。
l它们重合的部分符合所有指标l这三种直线的合格区域都可以用阴影表示出来，如图中所示l振荡频率用等频线代表l调节时间用等线代表l即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满足系统设计的要求l例如，不仅仅改变调节器参数Kc，而且改变调节器结构，给系统增加开环零极点l但是，在很多时候，只调整增益不能满足系统的性能此时必须改造根轨迹l 当根。