高等数学考研讲义(文档) 高等数学考研讲义 概念清楚 题型全面 方法得当 灵活熟练 多元函数微分学 一 、 二元函数 1、二元函数的解析式 例1 设2 (,),xy f x y x y = +求(,(,))f x f x x 例2.设22(,)y f x y x y x +=-，求(,)f x y 本例小结 2、二元函数的极限 例3 设22 22 22 0(,)0 0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限 例4 设22242 22 0(,)0 0x y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0)P x y O →时函数极限 本例小结 例5 0x y →→ 2 1lim 1x x y x y a xy +→∞→?? + ?? ?（0a ≠常 数） 例6 22200sin lim x y x y x y →→+ 22 2200 1lim()sin x y x y x y →→++ 332200lim x y x y x y →→++ 例7 00 x y →→ 22 22200 lim()x y x y x y →→+ 本例小结 3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论 连 续 可 微 偏导函数连续 偏导存在 （1）.函数在()00x y ，处连续?()()00 00lim x x y y f x y f x y →→=，， （2）. 函数在()00x y ，处的偏导 ()00x f x y ，=()() 00000 lim x f x x y f x y x ?→+?-?，， 或 ()00x f x y ，=()() 0000 lim x x f x y f x y x x →--，， （3）. 函数在()00x y ，处可微 ?0 (,)lim 0x f x x y y f x y f x y x f x y y ?→→+?+?--?-?=，，， 例8设 22 22 22 ,0 (,) 0,0 xy x y x y f x y x y ? +≠ ? + =? ?+= ? 试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续? ⑵ 偏导数是否存在? 例9 设 22 22 ,0 (,) 0,0 x y f x y x y +≠ = += ? 试问该函数在点（0,0）处⑴是否连续? ⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？例10 设函数 2222 22 22 1 ()sin0 (,) 00 x y x y x y f x y x y ? ++≠ ? + =? ?+= ? ，试问该函数在点（0,0）处 ⑴是否连续? ⑵偏导数是否存在? ⑶是否可微？本例小结 例11设 33 22 22 22 ,0 (,) 0,0 x y xy x y f x y x y x y ?- +≠ ? =+ ? ?+= ? 求(0,0);(0,0) xy yx f f 本例小结 二、求偏导 1.具体的复合函数求偏导 例13 （1）设z y u x =，求 ,,u u u x y z ?????? （2）设2 2 2 z y x r ++=， 证明r z r y r x r 2 222222=??+??+?? （3 ）z = 本例小结 2.抽象的复合函数求偏导 例14 （1）设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g f ,有连续二阶偏导数，求y x z ???2 （2）) (22y x f y z -= （3）设),,(xyz xy x f u =且f 具有二阶连续偏导数，求z x u x u ?????2, （4） 设函数(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且(1,1)1f =， (1,1) 2f x ?=?， (1,1) 3f y ?=?， ()(,(,))x f x f x x ?=，求 3 1 ()x d x dx ?= （5） 设函数(,)()()()x y x y u x y f x y f x y g t dt +-=++-+? ，其中f 具有二阶导数，g 具有一阶导数，计算2222u u x y ??-?? 本例小结 3.隐函数求偏导 （1）设22 ,0x z xyz e z ??=-求 （2）已知0x y F z z ??= ??? ，确定()z z x y =，其中()()F u v z x y ，，，均有连续偏导数，求证 z z x y z x y ??+=??。
设函数(,)z x y 由方程(,)0z z F x y y x + +=所确定，证明z z x y z xy x y ??+=-?? （3）2(,,),(,,)0,sin ,0y u f x y z x e z y x z ???===≠?，求du dx （4）设有三元方程ln 1xz xy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = B 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = C 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = D 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z = 本例小结 4.求全微分 （1）求函数)1ln(2 2y x z ++=，当2,1==y x 时的全微分 （2）设(),,u f x y z =有连续偏导数，(),z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du 。
本例小结 5.综合题 例17 （1）2 2 2 2 222222220(,){(,)}(,)0(0,0)20041lim d d 2x y x y R f x y D x y x y R x y R f x y f xf yf x y x y εεπ→≤+≤=+≤+===+-+??＋ 设在|上有一阶连续偏导数， 在圆周上，且，求 （2）设用代换2,u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ???+-=????化为20z u v ?=??， 求a (3)设),(),,(y x v y x u 在第一象限内有二阶连续偏导数,且有 u v x y ??=??, u v y x ??=-?? ,又)(22y x f u +=,求),(),,(y x v y x u . (4) 设( ,u f =1 2 2 3230 2220()(),lim 1x f xt dt u u x y x y x →??+=+=-???求()u f r = （5）设()3222,(0)0,(1)1, ()u u f xyz f f x y z f xyz x y z ?====???求()u f r = （6）设(,)f x y 可微，(1,1)1,(1,1),(1,1),()[,(,(,))]x y f f a f b x f x f x f x x ?====求 1ln () lim 1 x x x ?→- （7）设(,)f x y 可微，cot 1 (0,) ,lim( ),(0,)1,(0,)2 n y n f y f n f e f x f y π→∞+?-==?求(,)f x y 三、多元微分学的应用 1.几何应用 空间曲线的切线与法平面,关键是求切向量 例18 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线有几条？ 本例小结 例19 求曲线2226 0x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线和法平面方程 本例小结 空间曲面的切平面与法线,关键是求法向量 例20 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-的法线方程和切平面方程 例21 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行。