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1、第一讲蒙特卡洛模拟及衍生品定价潘慧峰金融学院金融工程系办公室：博学楼919房间 电话：64492533 引子：从中信泰富谈起 中信泰富揭开了中资企业衍生品投资亏损的“冰山一角”，越来越多的中资企业成为复杂衍生品的牺牲品。 产品陷阱：国际投行将Accumulator包装成“套保产品”卖给中资企业。 定价欺诈：定价不公平，投行占了很大的便宜问题：如何对结构性衍生产品定价？ 合约类型： Accumulator 每月交易量： 1000万澳元 结算方式： 每月结算 合约期限： 24个月 敲出条件： 累计盈利350万美元 协议汇率： 美元/澳元 加权协议汇率： 美元/澳元 杠杆比率： 合约签订日： 200
2、8年7月16日 汇率现价： 美元/澳元 合约开始时间： 2008年10月15日金融资产定价的分析框架 相对定价，价格依赖于标的资产 现金流折算法 定价取决于预期现金流的估计、贴现率的估计 基于蒙特卡洛模拟的衍生品定价所用到的基本原理 统计学原理-大数定律保证了样本均值会趋于数学期望-中心极限定理保证均值的分布为正态分布 金融学原理-任何资产的价格均等于预期现金流的贴现值之和-贴现率要经过风险调整-风险中性测度下贴现率为无风险利率基于蒙特卡洛模拟的衍生品定价流程 随机过程选择 构造最大似然函数，估计随机过程参数 蒙特卡洛模拟给出现金流各种情景 给出正确的贴现率 数值定价Agenda 蒙特卡洛方法
3、基本原理 估计欧式期权的定价区间 估计亚式期权的定价区间 蒙特卡洛方法的优缺点 提高模拟效率的方法什么是蒙特卡罗模拟?根据韦氏词典的解释：Monte Carlo relates to or involves “the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each o
4、f which has a calculated probability of being the solution” Merriam-Webster, Inc.,1994,P754-755基本思想：抽样试验来计算参数的统计特征，最后给出求解问题的近似值。理论依据：中心极限定理及大数定律为其主要理论基础主要手段：随机抽样 使用前提：已知随机变量服从的分布或可以化为已知分布的变量的函数。蒙特卡洛方法的基本原理抽样分布的基础辛钦大数定律 定理：设 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望E(X)， 则有 辛钦大数定律的Matlab实现中心极限定理(central limit theorem)
5、定理：设 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差 , 则有中心极限定理的Matlab实现估计欧式期权的定价区间基于蒙特卡洛方法的定价区间估计 找到刻画标的资产价格运动规律的随机过程，需要对误差项的分布作出假设 得到N个标的资产到期日价格，得到一个期权价格 得到多个期权价格，给出定价区间 估计欧式看涨股票期权的定价区间 假设标的资产满足几何布朗运动的随机过程，估计其欧式看涨期权的VaR? 例 设有这样一个股票，其现行的市场价格为50元，无风险利率为0.1,收益率的标准差为。已知有一种以该股票为标的资产，执行期限为T=5/12的看涨期权，执行价格为52元，试用蒙特卡洛模拟法确定该期权的
6、定价区间?第一步，得到此股票价格的一条路径 得到第i-1个节点的价格 根据价格服从的随机过程，进而得到第i个节点的价格第二步，得到1个期权价格 得到标的资产的1000个路径 得到标的资产到期日1000个价格 得到max(P-K,0)的均值的现值一个期权价格标的资产到期日价格的直方图第三步，得到多个期权价格，画出直方图 得到200个期权价格 得到期权价格的直方图及定价区间估计亚式期权的定价区间 亚式期权是一种路径依赖型期权，它的收益函数依赖于期权存续期内标的资产的平均价格 离散平均价格 亚式看涨期权的现金流 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行
7、价之差，股票收益率的标准差为，无风险利率为，下面用蒙特卡洛方法估计亚式期权的定价区间?蒙特卡洛的优缺点 MCMC方法的优点 分布假设更一般，描述市场因素可能变化的统计分布既可以是正态、对数正态的,也可以是带跳的扩散分布、t分布等。 随机生成风险因素的各种各样的未来假想情景,可在模型中融合管理层对未来风险水平的理解与预测,考察更多的假设情况。 练习 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价之差，股票收益率的标准差为，无风险利率为，下面用蒙特卡洛方法计算亚式期权的价格? 注：随机数采用自由度为6的t分布。提高模拟效率的方法对偶变量法 对于服从对称分
8、布的随机变量来说，当随机产生一个随机数v时，可以自动的得到另一个随机数-v，可以得到两个价格p1，p*1。对价格的模拟可以使用平均P（ p1 + p*1)/2代替Corr(v,-v)=-1 ，P 1和p*1的相关系数显然小于0.控制变量法 假设有两种类似的证券A和B，要用模拟的方法对证券A的价格进行估计，假设证券B可以得到解析解，可以用解析公式计算出B的价格f（B）。然后对f（A）-f（B）进行模拟，f（A）-f（B）的误差自然减少。 控制变量法变量A的数值的估计公式模拟括号中的数值，用解析式计算出B的数值然后相加得到A的模拟值。只要 就有结构化衍生品定价奇异期权 障碍期权-敲出-敲入 复合期
9、权-call on call-call on put中信泰富外汇衍生品合约 合约类型： Accumulator 每月交易量： 1000万澳元 结算方式： 每月结算 合约期限： 24个月 敲出条件： 累计盈利350万美元 协议汇率： 美元/澳元 加权协议汇率： 美元/澳元 杠杆比率： 合约签订日： 2008年7月16日 汇率现价： 美元/澳元 合约开始时间： 2008年10月15日定价分析：定价步骤Step1：给出（月）汇率演化的随机过程（包括参数、初值）Step2:根据随机过程模拟出一条汇率价格路径，计算这条路径上每个月的损益Step3:根据合约条款计算累计损益 -当节点价格大于协议价格，则收益：节点价格-协议价格 -当节点价格小于协议价格，则损失：2.5*（节点价格-协议价格） -计算所有节点的累计损益Step4:判断合约的终止日期 -如果累计损益大于350万元，则合约停止 -如果累计损益小于350万元，则合约继续Step5:得到一条路径的现金流Step6:得到多条路径的现金流Step7:得到不同时刻现金流的均值Step8:将所有的现金流均值按照期限结构进行贴现，得到Accumulator的一个价格。窄幅波动时Accumulator的现金流 宽幅波动时Accumulator的现金流 谢谢！ END
