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1、 学科网（北京）股份有限公司 专题24平面向量的线性运算与坐标运算-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义；理解向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理；了解向量的线性运算性质及其几何意义。了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查预测2022年高考中，平面向量的线性运算与坐标运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.三
2、、自主梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a
3、与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)数乘已知a(x1，y1)，则a(x1，y1)，其中是实数任一向量的坐标已知
4、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)5.平面向量共线（1）线性表示向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.（2）坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10,四、高频考点+重点题型 考点一、线性运算例1-1（向量的拆分）(2020新高考全国卷)若D为ABC的边AB的中点，则()A2B2C2 D2 例1-2（向量拆分求参）（2019山东高考模拟（文）在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1 例1-3（向量化简）已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A点P在线段AB上B点P在线段A
5、B的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上 对点训练1. 如图，在正六边形ABCDEF中，()A0 BC D 对点训练1.（2020湖南衡阳三模（文）在平行四边形中，若，则（ ）ABCD 对点训练2.（2019山东高考模拟（文）如图，在ABC中，AN=23NC，P是BN上一点，若AP=tAB+13AC，则实数t的值为_ 对点训练3.在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)若x(1x)，则x的取值范围是()ABCD 考点二、坐标运算例2-1.（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，已知点，则D点的坐标为_. 例2-2已知点C为扇
6、形AOB的弧上任意一点，且AOB120，若(，R)，则的取值范围为()A2,2 B(1， C1， D1,2 对点训练1.（2021全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；（3）求M，N的坐标及向量的坐标. 对点训练2. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，满足条件：与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn (m，nR)，求mn的值 对点训练3已知在平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D. 考点三、共线向量例3-1（线性表示）（2020全国高一课时
7、练习）设，是平面内不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则_. 例3-2（坐标表示）（2020上海高二课时练习）已知三点共线，则，则_，_ 对点训练1.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值 对点训练2.(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_。 对点训练3.设向量(1，2)，(a，1)，(b,0)，其中O为坐标原点，a0，b0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为()A B C D 对点训练4已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，则实数的值为()A1 BC1或 D1或 巩固训练一、单项选择题
8、1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2 C.3 D.42.在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(2,0)，(2，3)，则点D的坐标为()A(6,1) B(6，1)C(0，3) D(0,3)3在ABC中，点G满足0.若存在点O，使得，且mn，则mn等于()A2 B2 C1 D14已知在RtABC中，BAC90，AB1，AC2，D是ABC内一点，且DAB60，设(，R)，则()A. B. C.3 D.25.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()A.0 B.C.1 D
9、.0，1二、多项选择题7.在ABC中，下列命题正确的是( )A.B.0C.若()()0，则ABC为等腰三角形D.若0，则ABC为锐角三角形8.已知向量e1，e2是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当xe1ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是( )A线段AB的中点的广义坐标为BA，B两点间的距离为C向量的充要条件是x1y2x2y1D向量的充要条件是x1x2y1y20三、填空题9已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_10.已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶
10、点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_11在ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设x，y(xy0)，则4xy的最小值是_. 12在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_.四、解答题13已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？ 14已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由 学科网（北京）股份有限公司
