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1、专题15利用导数研究函数单调性、极值、最值-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.二、教学建议1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函
2、数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.三、自主梳理1、函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点4、函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf
3、(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.四、高频考点+重点题型考点一、利用导数研究函数单调性例1-1.（求函数的单调区间）【2019天津卷】设函数为的导函数，求的单调区间。例1-2.（讨论函数的单调性）【2019全国卷】已知函数f (x)2x3ax2b.讨论f (x)的单调性例1-3（证明函数的单调性）已知函数f(x)，x(m，)，证明：函数yf(x)在(m，m1)上单调递减例1-4（已知函数单调性求参）已知函数f (x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f (x)g(x)存在
4、单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f (x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围对点训练1.（2020金华市曙光学校高二月考）已知，那么单调递增区间_；单调递减区间_.对点训练2.（2021全国高三专题练习）已知函数.讨论函数的单调区间；对点训练3若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_考点二、利用导数研究函数的极值例2-1（极值点的求解与辨析）（重庆高考真题）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(D)A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数
5、f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)例2-2.（已知极值点求参）（2021山西省）已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）AB2C2或D2或例2-3（极值点个数的探究）已知函数f(x)ln xax(aR).讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.对点训练1.（2021河北沧州市高三三模）已知函数，则（ ）A的单调递减区间为B的极小值点为1C的极大值为D的最小值为对点训练2.（2020江苏）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）A是函数的极小值点 B是函数的极小值点C函数在区间上单
6、调递增 D函数在处切线的斜率小于零对点训练3.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1对点训练4. (2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.对点训练5.已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)考点三、利用导数研究函数最值例3.已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.对点训练
7、1.已知函数（其中e是自然对数的底数）当时，求的最小值；当时，求在上的最小值对点训练2.设函数 若，则的最小值为_； 若有最小值，则实数的取值范围是_考点四、利用导数研究函数的图像例4.已知函数f(x)ex(x1)2(e为2.718 28)，则f(x)的大致图象是（ ）ABCD对点训练1.【多选题】（2021全国高三）如图是函数的部分图像，则的解析式可能是（ ）ABCD 巩固训练一、单选题1（2021江苏高三其他模拟）函数的单调递增区间是（ ）AB C D和2（2021江苏高三其他模拟）函数的大致图象是（ ）ABCD3（2021广东）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD4（20
8、21普宁市华侨中学高三二模）已知函数在处取得极大值，则a的值为（ ）A或B1或2C1D25（2021福建高三二模）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）ABCD6（2021江苏省天一中学高三三模）已知在上恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）ABCD二、多选题7（2021山东高三三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A的周期为B的图象关于对称C的最大值为D在区间在上单调递减8（2021武冈市第二中学高三其他模拟）已知函数，是的导函数，则下列说法正确的是（ ）A当时，在单调递增B当时，在处的切线为x轴C当时，在上无零点D当时，在存在唯一极小值点三、填空题9（2021广东高三其他模拟）若函数有最小值，则的一个正整数取值可以为_.10.若函数f(x)x2x1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是_四、解答题11（2021山东省山东师范大学附中高二月考）已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值12设f(x)xln xax2(3a1)x.(1)g(x)f(x)在1,2上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围
