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1、专题16利用导数研究方程与不等式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题。二、教学建议利用导数研究函数的零点(方程根)的问题，是高考的重点，常出现在解答题的某一问中，难度偏大，主要命题角度有：(1)利用最值(极值)判断零点个数；(2)构造函数法研究零点问题利用导数研究不等式问题是高考中的常考点，主要出现在解答题中，难度较大，主要命题角度有：(1)证明函数不等式；(2)不等式恒成立问题；（3）解不等式；（4）比较大小三、自主梳理1与函数零点有关的参数范围问题（1）方
2、程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点（2）求极值的步骤：先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.2与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽
3、带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理：3利用导数证明、解不等式问题无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.四、高频考点+重点题型考点一、函数零点个数的判断与证明例1-1（利用零点存在性定理与单调性证明（判断）判断零点）（2020浙江省高考真题）已知，函数，其中e=2.71828为自然对数的底数证明：函数在上有唯一零点；对点训练1.（2020届山东省菏泽
4、一中高三）已知函数,为的导函数.求证:在上存在唯一零点;对点训练2.（2019全国高考真题（理）已知函数.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；对点训练3.设函数f(x)x2mln x，g(x)x2(m1)x，当m1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数例1-2（借助方程转换构造新函数）（2021河北省）函数f(x)=xex21x在上的零点个数为 例1-3（区间扫描法判断（证明）函数零点）（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知函数,为的导函数.求证:有且仅有两个不同的零点.对点训练1.（2019全国高考真题（理）已知函数，为的导数证明：有且仅有2个零点例1-4（已知
5、函数零点求参） (2020全国卷)已知函数f (x)exa(x2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围对点训练1.（2020全国高考真题（文）已知函数若有三个零点，求的取值范围考点二、证明不等式例2-1（利用函数的最值证不等式）（2021河北高三其他模拟）已知函数,当时，求证：；例2-2（利用“若f(x)ming(x)max，则f(x)g(x)”证明不等式）已知函数f(x)xln xax，证明：对一切x(0，)，都有ln x1成立.例2-3（先放缩，后利用函数最值，证明不等式）（2021重庆市育才中学高三二模）已知函数，若，求证：.对点训练1.已知函数f(x)1，g(x)xln x，证明：(
6、xln x)f(x)1.考点三、不等式成立求参例3-1（不等式恒成立）(2020全国卷)已知函数f (x)exax2x，当x0时，f (x)x31，求a的取值范围对点训练1.已知函数f (x)ln x1，xf (x)k(x1)在(1，)上恒成立，求整数k的最大值例3-2.（不等式存在性成立）若存在x1e,e，不等式2xln xx2mx30成立，求实数m的取值范围对点训练1.已知函数f (x)axex(aR)，g(x)，若x0(0，)，使不等式f (x)g(x)ex成立，求a的取值范围 巩固训练一、单选题1已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD2（2021四
7、川仁寿一中高三其他模拟（文）函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图，023423030当时，函数的零点个数为（ ）ABCD3（2021东至县第二中学高二期中（理）若对任意，不等式恒成立，则的范围是（ ）ABCD4（2021安徽高三二模（文）若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（ ）ABCD5（2021湖南高三其他模拟）已知函数存在两个零点，则正数的取值范围是（ ）ABCD6（2021浙江高三其他模拟）已知非负函数的导函数为，且的定义域为，若对于定义域内的任意，均满足，则下列式子中不一定正确的是（ ）AB CD7（2021全国高三其他模拟（文）若关于的方程有且仅
8、有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）ABCD8已知函数，且对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题9（2021河北衡水中学高三其他模拟）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A若在区间上的最大值与最小值分别为，则B曲线与直线相切C若为增函数，则的取值范围为D在上最多有个零点10（2021福建上杭一中高三其他模拟）函数，下列说法正确的是（ ）A当时，在处的切线方程为B当时，存在唯一极小值点且C存在，在上有且只有一个零点D对任意，在上均存在零点三、填空题11（2021湖北高三二模）若存在两个不相等的正实数，使得成立，则实数的取值范围是_.12（2022全国高三专题练习）当x0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=_13（2021河北高三二模）若对于，不等式恒成立，则a的最大值为_.四、解答题14已知函数.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：.15设函数，（1）证明：f(x)1；（2）设函数，若有两个零点，求的取值范围
