差分方程建模讲义资料

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1、4.44.4 差分方程建模差分方程建模 一、差分方程简介以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。 记yt 为变量y在时刻t 时的取值，则称 为yt 的一阶差分，称 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成 满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初

2、值条件的 特解，例如，考察两阶差分方程 易见见与均是它的特解，而 则为则为 它的通解，其 中c1，c2为为两个任 意常数。类类似于微分方程，称差分方程 为n阶线性差分方程， 当 0时称其为n阶非齐次线性差分方程，而 则则被称为为方程对应对应 的 齐齐次线线性差分方程 。若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成（4.15） 的形式，其对应的齐次方程为（4.16） 容易证证明，若序列与均为为方程（4.16）的解，则则也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为为任意常数，这说这说 明，齐齐次方程的解构成一个 线线性空间间（解空间间）。 此规律

3、对于（4.15）也成立。情况4 若 为为特征方程（4.17）的k重复根，则则通 解对应对应 于它们们的项为项为为为任意常数，i=1,2k。 .若yt为为方程(4.16)的通解,则则非齐齐次方程 (4.15)的通解为为（步三） 求非齐齐次方程 (4.15)的一个特解 求非齐次方程（4.15）的特解一般要用到 常数变易法，计算较繁。对特殊形式 的b(t)也可使用 待定系数法。 例4.13 求解两阶阶差分方程解 对应齐对应齐 次方程的特征方程为为，其特征根为为，对应齐对应齐 次方程的通解为为 原方程有形如的特解。代入原方程求得，故原方程的通解为为在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在

4、给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对 差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程的通解中任意常 数C1,Cn如何取值 , 在 时总有 ,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不稳定 的.根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程(4.15)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小 于1。 例4.14（市场经济的蛛网模 型）在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导

5、致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：（1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲线称为供应曲线。（2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示。记记t时时段初市场场上的供应应量 (即上 一时时段的生产产 量)为为xt ，市场场上该该商品的价格 为为Pt 。商品成交的价格是由需求曲线线决定的， 即随着 ,Mt将趋趋于平衡点M*,即商品量将趋趋于平衡 量x*,价格将趋趋于平衡价 格P*。图图中的箭线线反映了在市场经济场经济 下该该商品的供应应量与价格的发发展趋势趋势 。xoPP0P2P*P1xx

6、1x2x0 x*需求曲线供应曲线M0M2M1M*PoM3M2M1但是，如果供应曲线和需求曲线呈图中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。图和图的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定 性呢？ 但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。不难看出，在 图中平衡点M*处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，而在图中情况恰好相反。 现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，

7、以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。设设供应应曲线线与需求曲线线的线线性近似分别为别为 和 式中，a、b分别为别为 供应应曲线线在M*处处的切线线斜率与需求曲线线 在M*处处切线线斜率的绝对绝对值值。 根据市场经济场经济 的规规律，当供应应量 为为xt时时，现时现时 段的价格，又对对价格，由供应应曲线线解得下一时时段的商品量 由此导导出一阶阶差分方程：（4.18）此差分方程的解在 (b/a)b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产者的敏感程度），商品

8、供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之， 若ab（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品供售市场易造成混乱 .如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若t 时段的商品量为 xt 时，仍有 （4.21）将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得 （4.19）但t+1时时段的商品量则则不再为为而被修正为为（4.20）由（4.19）式得（4.22）（4.22）式是一个常系数二阶线阶线 性差分方程，特征方程为为其特征根为

9、记记。若，则则此时时差分方程（4.22）是不稳稳定的。 ，若，此时时特征根为为一对对共轭轭复数，。 由线性差分方程稳定的条件， 当r2即b2a时（4.22）式是稳定的，从 而M*是稳定的平衡点。 不难发现，生产者管理方式的这一更动不仅使自己减少了因价格波动而带来的损失，而且大大消除了市场的不稳定性。生产者在采取上述方式来确定各时段的生产量后，如发现市场仍不稳定（b2a），可按类似方法试图再改变确定生产量的方式，此时可得到更高阶的差分方程。对这些方程稳定性条件的研究很可能会导出进一步稳定市场经济的新措施。例4.15 国民经济的稳定性 国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入

10、再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国民经济的稳定性问题。 再生产产的投资资水 平It取决于消费费水平的变变化量，设设政府用于公共设设施的开支在一个不太大的时时期内变动变动 不大，设设为为常数G。故由可得出。将及代入。 记记yt为为第t周期的国民收入，Ct为为第t周期的消费资费资 金。Ct的值值决定于前一周期的国民收入，设设 （4.23）（4.23）式是一个二阶阶常系数差分方程，其特征方程为为，相应应特征根为为 （4.24）成立时时才是稳稳定的。 （4.24）式可用于预报经济发预报经济发 展趋势趋势 。现现用待定系数法求方程 （4.

11、23）的一个特解。令代入（4.23）式，得故当（4.24）式成立时时，差分方程 （4.23）的通解为为其中为为的模，为为其幅角。例如，若取， 易见见，此时时关系式 （4.12）成立，又若 取y0=1600，y1=1700， G=550，则则由迭代公式求得 y2=1862.5, y3=2007.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2, y7=2212.15, y8=2213.22, y9=2210.3,。 易见例4.16 商品销售量预测 (实例)某商品前5年的销售量见表 。现希望根据 前5年的统计数据预测 第6年起该商品在各季度中的销售量。 从表中可以看出，该商品在

12、 前5年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应 用最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量 由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第四年第三年第二年第一年销销售量季度 年份 求得 a=1.3， b=9.5。根据 预测第六年起第一季度的销售量 为 =17.3， =18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年

13、或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第t年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：或等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有统计统计 数据吻合，较为较为 合理的办办法是用最小二乘法求一组总组总 体吻合较较好的数据。以建立二阶阶差分方程 为为例，为选为选 取a0,a1,a2使最小，解线线性方程组组：即求解得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶阶差分方程为为 虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值 y6=21，y7=19，等。上述为预测

14、各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为为此，将季度编编号 为为t=1,2,20，令或 等，利用全体数 据来拟拟合，求拟拟合得最好的系数。以二阶阶差分方程为为例，为为 求a0、a1、a2使得 最小求解线线性方程组组即求解三元一次方程组组解得a0=0.6937,a1=0

15、.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程（t21） 根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。例4.16 人口问题的差分方程模型 在3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型Malthus模型和Verhulst模型（又称Logistic模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时 效果较好。1、离散时间 的Logistic模型在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽

16、无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。建立离散模型的一条直接途径是 用差分代替微分。从人口问问题题的Logistic模型可导导出一阶阶差分方程 （4.25）(4.25)式中右端的因子 常被称为阻尼因子。 当PtN时，种群增长接 近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用， 若PtN，它将使种群增长速度 在Pt接近N时变得越来越慢，若 PN，它将使种群呈负增长。（4.25）式可改写为为 （4.26）记记,于是(4.26)式又可改写为为（4.27）虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（4.27）有两个平衡点， 即x*=0和 。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（ 时不能确定除外）。例如，对 ，讨论 在x*处的线性近似方程可知，当（即）时时平衡点是稳稳定的，此时时 （）若当 ，则平稳