决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院 武森2目录第一章 决策科学概述第二章 确定型、风险型和不确定型决策第三章 模糊决策第四章 灰色系统预测与决策第五章 可拓决策第六章 其他决策分析方法3第四章 灰色系统预测与决策 4.1 灰色系统概述 4.2 灰色因素的关联分析 4.3灰色系统预测建模原理与方法 4.4 灰色预测模型应用实例 4.5 灰色局势决策 44.1 灰色系统概述 一、灰色系统的概念（一）“灰色”的含义 灰色系统理论（theory of grey system）起源于对控制论的研究灰色系统是我国创立的一门新学科，它的创始人是我国学者邓聚龙教授这门学科为处理“少数据不确定、信息不完全”的预测、决策问题，给出了一种很好的决策方法 用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确相应地，将信息完全明确的系统称为白色系统；信息未知的系统称为黑色系统；部分信息明确，部分信息不明确的系统称为灰色系统54.1 灰色系统概述 一、灰色系统的概念（二）信息不完全的表现系统信息不完全的情况有以下四种：(1) 元素（参数）信息不完全；(2) 结构信息不完全；(3) 边界信息不完全；(4) 运行行为信息不完全。
64.1 灰色系统概述 二、灰色系统理论的特点 4内部性3动态性2联系性1系统性灰色系统理论的特点7第四章 灰色系统预测与决策 4.1 灰色系统概述 4.2 灰色因素的关联分析 4.3灰色系统预测建模原理与方法 4.4 灰色预测模型应用实例 4.5 灰色局势决策 84.2 灰色因素的关联分析 一、关联分析的概念和特点 灰色关联度分析方法是根据因素之间的发展趋势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法此分析方法对样本量的多少没有要求，计算量小，也不需要有典型的分布规律94.2 灰色因素的关联分析 二、关联度分析的计算方法（一）原始数据变换原始数据变换的方法通常有两种：1、均值化变换 先分别求出每个序列的平均值，然后用各个序列的均值去除相应序列中的每一个数据，得到一组新的序列，于是在新的序列中，没有了量纲，而且新的序列中的每一个数都分布在1左右 2、初值化变换 把每一组序列中的每一个数分别去除以相应序列中的第一个数，得到一组新的序列，称为初值化数列初值化数列中没有量纲 104.2 灰色因素的关联分析 二、关联度分析的计算方法（一）原始数据变换 在消除序列的量纲过程中，两种方法都可以，但在对稳定的经济系统做动态序列的关联度分析时，一般情况下用初值化变换，因为经济系统中大多数的动态序列是呈增长趋势的。
如果对原始数列只做数据之间的关联度分析，也可以使用均值化变换11二、关联度分析的计算方法（二）计算关联系数 记消除量纲的一个序列为x0(t)，另一个序列为x1(t)，如果两个序列处在同一时刻k的值分别记为x0(k)，x1(k)，即：4.2 灰色因素的关联分析 则x0(i)，x1(i)的绝对差值记为 ：12其中 为i 时刻两比较序列的绝对差； 为分辨系数， 的取值介于01之间，一般情况下的 可取0.10.5， 的作用是消除 值过大从而使计算的关联系数ri值失真的影响则关联系数(correlative coefficent)的计算公式为 ：二、关联度分析的计算方法（二）计算关联系数 若将各个时刻的最小差值记为 ，最大差值记为 ，即4.2 灰色因素的关联分析 13式中N为两个序列的数据个数，ri为两个序列各个时刻的关联系数二、关联度分析的计算方法（三）求关联度 两个时间序列的关联度借助于几何图形比较，如果两个几何图形在任一时刻点的绝对差值都相等，则两个序列的关联度一定等于1因此，两序列的关联度是两个序列各个时刻关联系数的算术平均数，用R表示，则4.2 灰色因素的关联分析 14二、关联度分析的计算方法（四）关联度的性质关联度具有以下三种性质：(1)自反性设X0(t)为一时间序列，则该序列自身的关联度R00=1.(2)对称性设两个序列X1(t)，X2(t)，则X1(t)，X2(t)两个序列的关联度R12和X2(t)，X1(t)的关联度R21相等，即R12=R21.(3)传递性设有三个序列X0(t)， X1(t)，X2(t)，如果R01R02，R02 R12，则R01 R12.4.2 灰色因素的关联分析 15二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例以下举例说明关联度的计算步骤与方法。
设有四组时间序列：x1(0)=39.5，40.3，42.1，44.9,x2(0)=46.7，47.3，48.2，47.5,x3(0)=5.4，5.8，6.1，6.3,x4(0)=6.1，6.0，5.8，6.4. (1) 以x1(0)为母序列，其余数列为子序列4.2 灰色因素的关联分析 16x1(0)=39.5，40.3，42.1，44.9,x2(0)=46.7，47.3，48.2，47.5,x3(0)=5.4，5.8，6.1，6.3,x4(0)=6.1，6.0，5.8，6.4.二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例(2) 将原始数据作初值化处理4.2 灰色因素的关联分析 17二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例(3) 计算各子序列同母序列在同一时刻的绝对差，计算公式为：4.2 灰色因素的关联分析 计算结果如下： t123400.010.040.1200.050.060.0300.040.120.09从表中找出最小值和最大值：18计算关联系数的结果如下：二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例(4) 计算关联系数（取 =0.5）:4.2 灰色因素的关联分析 t123400.010.040.1200.050.060.0300.040.120.09 t123410.860.600.3310.550.500.6710.600.330.4019则对各序列xi(0)之间的关联度有二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例(5) 计算关联度：4.2 灰色因素的关联分析 t123410.860.600.3310.550.500.6710.600.330.40R12R13R14.20第四章 灰色系统预测与决策 4.1 灰色系统概述 4.2 灰色因素的关联分析 4.3灰色系统预测建模原理与方法 4.4 灰色预测模型应用实例 4.5 灰色局势决策 21一、灰色预测的概念 灰色预测（grey forecast）是通过原始数据的处理和灰色动态模型（grey dynamic model）的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
4.3 灰色系统预测建模原理与方法 22二、灰色系统预测建模原理与步骤（一）建模原理设原始数列为X(0)=x(0)(1), x(0)(2)，x(0)(n)将原始数列经过一次累加生成，可获得新数据列：X(1)=x(1)(1), x(1)(2)，x(1)(n)，其中4.3 灰色系统预测建模原理与方法 对于非负的数据列，累加的次数越多，随机性弱化越明显，数据列呈现的规律性越强这种规律如果能用一个函数表示出来，这种函数称为生成函数23二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建立灰色模型步骤 灰色模型（grey model）记为GM灰色系统预测模型的建立，经常用微分拟合法GM(m,n)表示m阶n个变量的微分方程4.3 灰色系统预测建模原理与方法 24二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建立灰色模型步骤下面以GM(1,1)为例说明建模步骤GM(1,1)表示一阶一个变量的微分方程预测模型，它是灰色预测的基础，主要用于时间序列预测，其建模步骤为：(1)GM(1,1)的建模过程：第一步，设原始数列为 4.3 灰色系统预测建模原理与方法 X(0)=x(0)(1), x(0)(2)，x(0)(n)25二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤(1) GM(1,1)的建模过程：第二步，对原始数列做一次累加生成得累加生成数列 4.3 灰色系统预测建模原理与方法 X(1)=x(1)(1), x(1)(2)，x(1)(n)，其中对累加生成数列建立预测模型的白化形式方程：式中a，u为待定系数。
1）（2）26二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤(1) GM(1,1)的建模过程：第三步，利用最小二乘法求出参数a，u的值：4.3 灰色系统预测建模原理与方法 其中累加矩阵B（由累加生成数列构成）为原始数据列矩阵为（3）（4）（5）27二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤(1) GM(1,1)的建模过程：第四步，将求得的参数a，u代入（2）式并求解此微分方程，得GM(1,1)预测模型为4.3 灰色系统预测建模原理与方法 第五步，对（6）式表示的离散时间响应函数中的序变量k求导，得还原模型为（7）（6）28二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤(2) 模型精度检验：绝对误差与相对误差检验，公式如下：4.3 灰色系统预测建模原理与方法 式中q(0)(t)表示残差；x(0)(t)表示t时刻的实际原始数据值； 表示t时刻的预测数据值；e(t)表示相对误差9）（8）29第四章 灰色系统预测与决策 4.1 灰色系统概述 4.2 灰色因素的关联分析 4.3灰色系统预测建模原理与方法 4.4 灰色预测模型应用实例 4.5 灰色局势决策 30例 已知某市工业总产值数据如下表所示，试建立该市工业总产值的GM(1,1)模型并进行预测。
4.4 灰色预测模型应用实例 时间2001年2002年2003年2004年工业总产值（亿元）60.379.9495.61111.5上表内容可写成：x(0)(t)=60.3,79.94,95.61,111.5.(1)一次累加生成数列：x(1)(k)=60.3, 140.24, 235.85, 347.35.(2) 建立数据矩阵B和Yn：31例(续) (3) 利用最小二乘法有4.4 灰色预测模型应用实例 其中又于是得到a=-0.1530041，u=65.71795.所以32例(续) (4) 离散时间响应函数为：4.4 灰色预测模型应用实例 其还原模型为33例(续) (5) 模型检验见下表（绝对误差与相对误差检验）：4.4 灰色预测模型应用实例 k序号计算值实际累加值误差(%)k=1140.54140.24-0.21k=2235.65235.850.08k=3346.62347.350.21还原模型的检验见下表k序号计算值原始值残差误差(%)k=181.2579.94-1.31-1.6k=296.5795.61-0.96-1.0k=3112.41111.5-0.91-0.82 由以上检验可知，计算值与原始值误差较小，预测模型可以使用。
34例(续) (6) 灰色模型预测：4.4 灰色预测模型应用实例 通过得出的 计算20052021年该市工业总产值分别为：2005年亿元=138.21亿元；2006年亿元=161.06亿元；2007年亿元=187.69亿元；2021年亿元=218.72亿元；2021年亿元=254.88亿元；35第四章 灰色系统预测与决策 4.1 灰色系统概述 4.2 灰色因素的关联分析 4.3灰色系统预测建模原理与方法 4.4 灰色预测模型应用实例 4.5 灰色局势决策 36一、决策元发生了某事件ai，用某对策bj去解决，就构成了一个局势sij(ai,bj)，称为二元组合它对某一局势有某一特定效果为此，记二元组合（事件,对策）与效果测度的整体为4.5 灰色局势决策 (事件,对策),效果测度)称之为决策元对于事件ai与对策bj的决策元记为式中rij即局势(ai,bj)的效果测度 效果测度(事件,对策)def37二、决策向量与矩阵若有事件a1，a2,an，有对策b1,b2,bm，则对于同一事件ai可用不同的对策，从而构成了m个局势(ai,b1)， (ai,b2), (ai,bm)将相应的决策元排成一行，便有下述决策行4.5 灰色局势决策 对于同一个对策bj，考虑与不同。