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1、新课程标准数学选修22 第一章课后习题解答第一章导数及其应用31 变化率与导数练习 （P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 h 的速率上升 . 练习 （P8）函数( )h t 在3tt附近单调递增， 在4tt附近单调递增 . 并且，函数( )h t 在4t附近比在3t附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习 （P9）函数33( )4Vr V(05)V的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r，(1.2)0.2r. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此
2、图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A组（P10）1、在0t处，虽然1020( )( )W tW t，然而10102020()()( )()W tW ttWtWtttt. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1)4.93.3hhthttt，所以，(1)3.3h. 这说明运动员在1ts 附近以 3.3 m s 的速度下降 . 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数( )s t 在5t时的导数 . (5)(5)10sststtt，所以，(5)10s. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10
3、m s，它在第 5 s 的动能213 101502kE J. 4、设车轮转动的角度为，时间为t，则2(0)ktt. 由题意可知，当0.8t时，2. 所以258k，于是2258t . 车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数( ) t 在3.2t时的导数 . (3.2)(3.2)25208tttt，所以(3.2)20. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为201s. 说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、 由图可知，函数( )f x 在5x处切线的斜率大于零， 所以函数在5x附近单调递增 . 同理可得，函数( )f x 在4x，2 ，0，2
4、附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明： “以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数( )fx 的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数( )fx 恒大于零，并且随着x的增加，( )fx 的值也在增加；对于第三个函数，当x小于零时，( )fx 小于零，当x大于零时，( )fx 大于零，并且随着x的增加，( )fx 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种. 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题 3.1 B组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间
5、的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度. 2、说明：由给出的( )v t的信息获得( )s t的相关信息，并据此画出( )s t的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换. 3、由（ 1）的题意可知，函数( )fx 的图象在点 (1, 5) 处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（ 2） （3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案 . 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 . 12 导数
6、的计算练习 （P18）1、( )27fxx，所以，(2)3f，(6)5f. 2、 （1）1ln 2yx；（2）2xye；（3）4106yxx；（4）3sin4cosyxx ；（5）1sin33xy；（6）121yx. 习题 1.2 A组（P18）1、()( )2SS rrS rrrrr，所以，0( )lim(2)2rS rrrr . 2、( )9.86.5h tt. 3、3213( )34r VV. 4、 （1）213ln 2yxx；（2）1nxnxynxex e；（3）2323sincoscossinxxxxxyx；（4）9899(1)yx；（5）2xye；（6）2sin(25)4 cos(
7、25)yxxx. 5、( )82 2fxx. 由0()4fx有0482 2x，解得03 2x. 6、 （1）ln1yx；（2）1yx. 7、1xy. 8、 （1）氨气的散发速度( )500 ln0.8340.834tA t. （2）(7)25.5A，它表示氨气在第7 天左右时，以 25.5 克天的速率减少 . 习题 1.2 B组（P19）1、 （1）（2）当 h 越来越小时，sin()sinxhxyh就越来越逼近函数cosyx . （3）sinyx 的导数为cosyx. 2、当0y时，0 x. 所以函数图象与x轴交于点(0,0)P. xye，所以01xy. 所以，曲线在点P 处的切线的方程为y
8、x. 2、( )4sind tt . 所以，上午6:00 时潮水的速度为0.42m h；上午 9:00 时潮水的速度为0.63 m h；中午 12:00 时潮水的速度为0.83 m h；下午 6:00 时潮水的速度为1.24m h. 13 导数在研究函数中的应用练习 （P26）1、 （1）因为2( )24f xxx，所以( )22fxx. 当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递增；当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递减 . （2）因为( )xf xex，所以( )1xfxe. 当( )0fx，即0 x时，函数( )xf xex单调递增；当( )0fx，
9、即0 x时，函数( )xf xex单调递减 . （3）因为3( )3f xxx，所以2( )33fxx. 当( )0fx，即11x时，函数3( )3f xxx单调递增；当( )0fx，即1x或1x时，函数3( )3f xxx单调递减 . （4）因为32( )f xxxx，所以2( )321fxxx. 当( )0fx，即13x或1x时，函数32( )f xxxx单调递增；当( )0fx，即113x时，函数32( )f xxxx单调递减 . 2、3、因为2( )(0)f xaxbxc a，所以( )2fxaxb . （1）当0a时，( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)f xaxbxc a
10、单调递增；( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)f xaxbxc a单调递减 . （2）当0a时，( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)f xaxbxc a单调递增；( )0fx，即2bxa时，函数2( )(0)f xaxbxc a单调递减 . 4、证明：因为32( )267f xxx，所以2( )612fxxx. 当(0, 2)x时，2( )6120fxxx，因此函数32( )267f xxx在(0, 2) 内是减函数 . 练习 （P29）1、24,xx是函数( )yf x 的极值点，其中2xx是函数( )yf x 的极大值点，4xx是函数( )yf x 的极小值点 . 2、
11、 （1）因为2( )62f xxx，所以( )121fxx. 令( )1210fxx，得112x. 当112x时，( )0fx，( )f x 单调递增；当112x时，( )0fx，( )f x 单调递减 . 所以，当112x时，( )f x 有极小值， 并且极小值为211149()6()212121224f. （2）因为3( )27f xxx，所以2( )327fxx. 令2( )3270fxx，得3x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即3x或3x时；当( )0fx，即33x时. 注：图象形状不唯一. 当x变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 3)3( 3,3)3
12、(3,)( )fx0 0 ( )f x单调递增54 单调递减54单调递增因此，当3x时，( )f x 有极大值，并且极大值为54；当3x时，( )f x 有极小值，并且极小值为54. （3）因为3( )612f xxx，所以2( )123fxx. 令2( )1230fxx，得2x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即22x时；当( )0fx，即2x或2x时. 当x变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(, 2)2( 2,2)2 (2,)( )fx0 0 ( )f x单调递减10单调递增22 单调递减因此，当2x时，( )f x 有极小值，并且极小值为10 ；当2x时，( )
13、fx有极大值，并且极大值为22 （4）因为3( )3f xxx，所以2( )33fxx. 令2( )330fxx，得1x. 下面分两种情况讨论：当( )0fx，即11x时；当( )0fx，即1x或1x时. 当x变化时，( )fx ，( )f x 变化情况如下表：x(,1)1( 1,1)1 (1,)( )fx0 0 ( )f x单调递减2单调递增2 单调递减因此，当1x时，( )f x 有极小值，并且极小值为2；当1x时，( )f x 有极大值，并且极大值为2 练习 （P31）（1）在 0,2 上，当112x时，2( )62f xxx有极小值，并且极小值为149()1224f. 又由于(0)2f
14、，(2)20f. 因此，函数2( )62f xxx在0, 2 上的最大值是 20、最小值是4924. （2）在 4,4 上，当3x时，3( )27f xxx有极大值，并且极大值为( 3)54f；当3x时，3( )27f xxx有极小值，并且极小值为(3)54f；又由于( 4)44f，(4)44f. 因此，函数3( )27f xxx在 4,4 上的最大值是54、最小值是54. （3）在1,33上，当2x时，3( )612f xxx有极大值，并且极大值为(2)22f. 又由于155()327f，(3)15f. 因此，函数3( )612f xxx在1,33上的最大值是 22、最小值是5527. （4
15、）在 2,3 上，函数3( )3f xxx无极值 . 因为(2)2f，(3)18f. 因此，函数3( )3f xxx在2,3 上的最大值是2、最小值是18 . 习题 1.3 A组（P31）1、 （1）因为( )21f xx，所以( )20fx. 因此，函数( )21f xx是单调递减函数 . （2）因为( )cosf xxx，(0,)2x，所以( )1sin0fxx，(0,)2x. 因此，函数( )cosf xxx在 (0,)2上是单调递增函数 . （3）因为( )24f xx，所以( )20fx. 因此，函数( )24f xx是单调递减函数 . （4）因为3( )24f xxx，所以2( )
16、640fxx. 因此，函数3( )24f xxx是单调递增函数 . 2、 （1）因为2( )24f xxx，所以( )22fxx. 当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递增 . 当( )0fx，即1x时，函数2( )24f xxx单调递减 . （2）因为2( )233f xxx，所以( )43fxx. 当( )0fx，即34x时，函数2( )233f xxx单调递增 . 当( )0fx，即34x时，函数2( )233f xxx单调递减 . （3）因为3( )3f xxx，所以2( )330fxx. 因此，函数3( )3f xxx是单调递增函数 . （4）因为32( )f xxxx，所以2( )321fxxx. 当( )0fx，即1x或13x时，函数32( )f xxxx单调递增 . 当( )0fx，即113x时，函数32( )f xxxx单调递减 . 3、 （1）图略 . （2）加速度等于0. 4、 （1）在2xx处，导函数( )yfx 有极大值；（2）在1xx和4xx处，导函数( )yfx 有极小值；（3）在3xx处，函数( )yf x 有极大值；（4）在5xx处
