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1、学习必备欢迎下载第一讲和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a| 。(2) 代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。也可以写成：|0aaaaaa当 为正数当 为0当 为负数说明：（） |a| 0 即|a| 是一个非负数；（） |a| 概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例 1 （数形结合思想）已知a、b、c 在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A-3a B 2c a C2a2
2、b D b 解： | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 学习必备欢迎下载分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时， 必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例 2已知：zx0，0 xy，且xzy， 那么yxzyzx的值（C ）A是正数B是负数C是零D不能确定符号解：由题意，x、y、 z 在数轴上的位置如图所示：所
3、以分析： 数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3 （分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为
4、y 由题意得：yx3，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x 在原点左侧， y 在原点右侧，即x0，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即x0，y0，则 -4y=8 ，所以 y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若 x、y 在原点左侧，即x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12 例 4 （整体的思想）方程xx20082008的解的个数是（D ）A1 个B2 个C3 个D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程aa的解， 利用绝对值的代数意义我们不难得到，负
5、数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例 5 （非负性）已知|ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值0)()(yxzyzxyxzyzx学习必备欢迎下载1) 1(xx2010200818616414211111112220072007ababababL分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得： a=1,b=2 于是1111112220072007ababababL200920082009112009120081413131212120092008143132121在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了
6、最终的结果同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例 6（距离问题） 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4 与2， 3 与 5，2与6，4与 3. 并回答下列各题：（ 1） 你 能 发 现 所 得 距 离 与 这 两 个 数 的 差 的 绝 对 值 有 什 么 关 系 吗 ？ 答 ： _ 相等.（2）若数轴上的点A 表示的数为x，点 B 表示的数为 1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为分析：点B表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。那么点A 呢？因为 x 可以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如
7、何求出A与 B 两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当 x-1 时，距离为 -x-1, 当-1x0，距离为 x+1 综上，我们得到A 与 B 两点间的距离可以表示为1x（3）结合数轴求得23xx的最小值为5 ，取得最小值时x 的取值范围为-3x_2_. 分析：2x即 x 与 2 的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与 2 之间的距离。学习必备欢迎下载) 3(3xx即 x 与-3 的差的绝对值， 它也可以表示数轴上x 与-3 之间的距离。如图， x 在数轴上的位置有三种可能：图 1 图 2 图 3 图 2 符合题意（4） 满足341xx的x的取值范围为x-1 分析： 同理1
8、x表示数轴上x 与-1 之间的距离，4x表示数轴上x 与-4 之间的距离。本题即求，当x 是什么数时x 与 -1 之间的距离加上x 与-4 之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，BA表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数 B 的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3） 、 （4）这两道难题。四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、
9、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式” 是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、 分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。学习必备欢迎下载2008200712007200720072222323aaaaaaa二、典型例题例 1若多项式xyxxxmx537852222的值与 x 无关，求mmmm45
10、222的值 . 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为83825378522222yxmxyxxxmx所以m=4 将 m=4 代人，44161644452222mmmmmm利用“整体思想”求代数式的值例 2x=-2 时，代数式635cxbxax的值为 8， 求当 x=2 时，代数式635cxbxax的值。分析：因为8635cxbxax当 x=-2 时，8622235cba得到8622235cba，所以146822235cba当 x=2 时，635cxbxax=206)14(622235cba例 3当代数式532xx的值为 7 时, 求代数式2932xx的值 . 分析：观察两个代
11、数式的系数由7532xx得232xx，利用方程同解原理，得6932xx整体代人，42932xx代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、 解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例 4 已知012aa，求2007223aa的值 . 分析：解法一（整体代人）：由012aa得023aaa所以：解法二（降次） ：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。学习必备欢迎下载20082007120072007220072)1(200722007222222223aaaaaaaaaaaaa由012aa，得aa12，所以：解法三（降次、消元） ：12aa（消元、减项
12、）20082007120072007)(20072007222222323aaaaaaaaaaa例 5 （实际应用）A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200 元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元）第一年： A 公司10000； B 公司5000+5050=10050 第二年： A 公司10200； B 公司5100+5150=10250 第 n 年： A 公司10000+200(n-1） ；B 公
13、司： 5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50 =10050+200(n-1) 由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错。例 6三个数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且bcbcacacababccbbaax，则123cxbxax的值是 _ 。解：因为abc0，所以 a、b、 c 中只有一个是负数。不妨设 a0，c0 则 ab0，ac0 所以 x=-1+1+1-1-1+1=0 将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为1。学习必备欢迎下载同理，当 b0，c0 时，即 x52，5x-2=3 ， 5x=5， x=1 因为 x=1 符合大前提
14、x52，所以此时方程的解是x=1 当 5x-2=0 时，即 x=52，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当 5x-20 时，即 x52，5x-2= -3 ， x=51因为 x=51符合大前提x0 时，即 x1，x-1=-2x+1 ，3x=2 ，x=32因为 x=32不符合大前提x1，所以此时方程无解当 x-1=0 时，即 x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解学习必备欢迎下载当 x-10 时，即 x1，1-x=-2x+1 ，x=0 因为 x=0 符合大前提xAD B.ACBD D. CD 3 1 2 3 学习必备欢迎下载A B 1 E F 2 C P D 34l3l2l112xzyA
15、BCFDE10. 如图所示 ,L1,L2,L3交于点 O,1=2, 3: 1=8:1, 求 4 的度数 .( 方程思想 ) 答案： 3611 如图所示 , 已知 AB CD,分别探索下列四个图形中P 与 A, C 的关系 ,? 请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.PDCBAPDCBAPDCBAPDCBA (1) (2) (3) (4) （1）分析：过点P 作 PE/AB APE+ A+ C=360（2） P= A+C （3） P= C-A, （4） P= A- C 12如图，若AB/EF ， C= 90，求 x+y-z 度数。分析：如图，添加辅助线证出： x+y-z=90 13已知：如图，
16、BAPAPD18012，求证：EF分析：法一学习必备欢迎下载法二：由 AB/CD 证明PAB=APC ，所以EAP=APF 所以 AE/FP 所以EF第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x轴上的点的坐标为)0 ,(x,即纵坐标为0; y轴上的点的坐标为),0(y，即横坐标为0; 2、具有特殊位置的点的坐标特征设),(111yxP、),(222yxP1P、2P两点关于x轴对称21xx，且21yy; 1P、2P两点关于y轴对称21xx，且21yy; 1P、2P两点关于原点轴对称21xx，且21yy。3、距离（1）点 A),(yx到轴的距离：点A 到x轴的距离为 |y|；点 A 到y轴的距离为 |x|；（2）同一坐标轴上两点之间的距离：A)0,(Ax、B)0 ,(Bx，则|BAxxAB；A),0(Ay、B),0(By，则|BAyyAB；二、典型例题1、已知点M 的坐标为（ x，y） ，如果 xyc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到：acb，bac，cba 即有：三角形的两边之差小于第三边2
