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1、学习必备欢迎下载中考培优班复习函数与方程思想专题讲解知识梳理方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容课堂典型例题讲解【例 1】如图：在 ABC中， BA=BC=20 cm ， AC=30 cm ，点 P从点 A出发，沿AB以每秒 4 cm 的速度向点B运动；同时Q点从 C点出发，沿CA以每秒 3 cm 的速度向点A运动设运动的时间为
2、x 秒 (1)当 x 为何值时， PQ BC? (2)APQ能否与 CQB 相似 ? (3) 若能求出AP的长；若不能请说明理由【解】 (1) 根据题意AP=4xcm ，AQ=AC QC=(3030 x)cm，若 PQ BC ，则APAQABAC则43032030 xx，解得103x所以当103xs 时， PQ BC (2)因为 A=C，所以当APAQCQCB或APAQCBCQ时， APQ能与 CQB棚以当APAQCQCB时，4303320 xxx，解得109x当APAQCBCQ时，4303203xxx，解得 x1=5，x2=10( 舍去 ) 所以 AP=4x=20所以当409APcm或 20
3、 cm 时， APQ与 CQB相似【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏【例 2】某企业投资100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万元，该生产线投产后，从第1 年到第 x 年的维修、保养费用累计为y( 万元 ) ，且 y=ax2+bx，若第1 年的维修、保养费为2 万元，第2 年的维修、保养费为4 万元 (1)求 y 的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 【解】 (1)由题意，把x=1 时， y=2 和 x=2 时， y=2+4
4、=6，代入 y=ax2+bx，得2426abab，解得11ab，所以 y=x2+x (2)设 y=33x100 x2x，则 y=x2+32x100= (x 16) 2+156由于当 1x16 时， y随 x 的增大而增大，且当x=1、2、3 时， y的值均小于0，当 x=4 时， y=12 2+1560，已知投产后该企业在第4 年就能收回成本【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y 是从第 1年到第 x 年的维修、保养费用总和【例 3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：学习必备欢迎下载 (一) 每
5、位村民年初交纳合作医疗基金a元； (二) 村民个人当年治疗花费的医疗费( 以医院的收据为准) ，年底按下列办法处理村民个人当年花费的医疗费医疗费的处理办法不超过 b 元的部分全部由村集体承担(即全部报销 ) 超过 b 元不超过5000 元的部分个人承担c，其余部分由村集体承担超过 5000 元的部分全部由村集体承担设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x 元，他个人实际承担的医疗费用( 包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金) 为 y 元 (1)当 0 x b时， y=_；当 b40，这样不成立，应为a=30，代入和中，解得 c=50，b=50当 0 x50 时， y=30；当 50500
6、0时， y=2505，村民个人一年最多承担医疗费为2505 元； (3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0 5200+5) +(0 5100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360250=110( 元) 【解题反思】本题的关键是确定a的范围，这里采用了反证法来说明b40举一反三综合训练1如果关于x 的方程3211axxx无解，则a的值为 _2如图， 已知矩形ABCD 中， E是 AD上一点， F 是 AB上一点， EFEC ，且 EF=EC ，DE=4 cm，矩形 ABCD的周长为32 cm，求 AE的长 3 如图， ABC
7、中，AC=4，AB=5 ，D是线段 AC上一点 ( 点 D不与点 A重合，可与点C重合 ) ，E是线段AB上一点，且ADE= B设 AD=x ，BE=y (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2) 写出 y 的取值范围4如图，某农场要用总长24 m 的木栏建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙( 墙长 12m)，且中间隔有一道木栏，设鸡场的宽AB为 xm，面积为S m2；学习必备欢迎下载 (1)求 S关于 x 的函数关系式； (2)若鸡场的面积为45 m2，试求出鸡场的宽AB的长； (3)鸡场的面积能否达到50 m2? 若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由5某空军加油飞机接到命令，立即
8、给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t 分钟， Q1、Q2与 t 之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q1( 吨)与时间 t( 分钟 ) 的函数关系式；(3) 运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10 小时到达目的地，油料是否够用?说明理由 6近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力的促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合
9、作，24 天可以完成，需费用120 万元；若甲队单独做 20 天后，剩下的工程由乙队做，还需40 天才能完成，这样需要费用110 万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天? (2) 甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元? 7 已知，关于x 的一元二次方程mx2(3m+2)x+2m+2=0(m0) (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中 x1x2) ，若 y 是关于 m的函数，且y=x22x1，求这个函数的解析式；(3) 在(2) 的条件下，结合函数的图象回答：当m满足什么条件时，y m+3? 8 已知： ABC中， A、
10、B 、 C的对边分别是a、b、c，若关于x 的方程 x22(b+c)x+2bc+a2=0 有两个相等的实数根，且ABC的面积为8，4 2a (1)试判断 ABC的形状并求b、c 的长； (2)若点 P为线段 AB边上的一个动点，PQ AC交 BC于点 Q，以 PQ为一边作正方形PQMN ，使得点 B与线段 MN不在线段PQ的同侧，设正方形PQMN 与 ABC的公共部分的面积为S ， BP的长为 x试写出S与 x 之间的函数关系式；当 P点运动到何处时，S的值为 39已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A(1， 0)，B(3，0)，C(0，3) 三点 (1)求此抛物线的解析式和顶点M的坐标，并
11、在给定的直角坐标系中画出这条抛物线学习必备欢迎下载 (2)若点 (x0， y0) 在抛物线上，且0 x04，试写出 y0的取值范围 (3)设平行于y 轴的直线x=t 交线段 BM于点 P(点 P能与点 M重合，不能与点B重合 ) ，交 x 轴于点 Q，四边形 AQPC 的面积为S求 S关于 t 的函数关系式以及自变量t 的取值范围求 S取得最大值时，点P的坐标设四边形OBMC 的面积为 S，判断是否存在点P，使得 S=S若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由10已知动点P(2m 1， 2m+3)和反比例函数kyx(k0) (1)若对一切实数m ，动点 P始终在一条直线l上，试求l的解析式
12、 (2)设 O为坐标原点，直线l与 x 轴相交于点M ，与 y 轴相交于点N，与反比例函数的图象相交于A，B两点 ( 点 A在第四象限 ) 证明： OAM OBN ；如果 AOB的面积为6，求反比例函数解析式学习必备欢迎下载参考答案12 和 3 2 6cm 3 (1)455yx (2)955y 4 (1)S=x(24 3x)= 3x2+24x(x 4) ； （2）3x2+24x=45，解得： x1=3(舍去 )，x2=5，鸡场的宽AB的长为 5 米 (3)3x2+24x=50，3x224x+50=0，=24243500此方程无实数解，鸡场的面积不能达到 50 米2 5(1) 由图象知，加油飞机
13、的加油油箱中装载了30 吨的油，全部加给运输飞机需10 分钟 (2)设Q1=kt+b ，则406910bkb，2.940kb，Q=29t+40(0 t 10) (3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟01 吨，10 小时的耗油量为106001=60( 吨)0 ， (m+2) 20，即 A0，方程有两个不相等的实数根 (2)x1=1，222xm，2122yxxm (3)在直角坐标系中的第一象限内分别画出2ym和 y=m+3的图象，观察图象得：当 1m 2 时， y m+3 8(1) ABC是等腰直角三角形，b=c=4； (2)当 0 x2 时， S=x2；当 2x4 时， S=x2+4x3、3
14、 9(1)y= x2+2x+3， M(1，4) ，图略 (2)5 y0 4 (3)29322tSt(1 t3) 9 34 2，不存在152S，若 S=S，则29315222tt，整理得29602tt812404，此方程没有实数根，不存在点P，使得 S=S 10 (1) 设l： y=kx+b， 当 m=0时， P1( 1， 3)， 当 m=1时，P2(1， 1) ， 带入l： y=kx+b 得，31kbkb，解得12kb，l：y=x+2，经检验满足条件 (2)解方程组2kyxyx，得x2 2x+k=0，解得11Axk，11Bxk，代入求得，学习必备欢迎下载11Ayk，11Byk，22AAOAxy，22BBOBxyOA=OB ，OAB= OBA ；M(2，0) ，N(0，2)，OM=ON，OMN= ONM=45 ，ONB= OMA=135 ，OAM OBN 26AOBMONAPMSSS， 又12222MONS，2AOMS， 代 入 得 ：111222k，13k，k= 8，反比例函数的解析式为8yx
