《高等数学B教案第八章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学B教案第八章（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第八章空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、掌握平面方程和直线方程及其求法。5、会求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，并会利用平面、 直线的相互关系 （平行、垂直、相交等）解决有关问题。6、会求点到直线以及点到平面的距离。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。8、了
2、解空间曲线的参数方程和一般方程。9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、空间曲线在坐标面上的投影4、点到直线的距离；5、二次曲面图形；6、旋转曲面及柱面的方
3、程。学习必备欢迎下载 8 1 向量及其线性运算一、教学目的与要求：1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2 掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。二、重点（难点） ：向量概念、向量的运算三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、向量概念向量： 既有大小又有方向这一类量叫做向量在数学上用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r
4、、v、 F 或a 、r、 v 、F自由向量由于一切向量的共性是它们都有大小和方向所以在数学上我们只研究与起点无关的向量并称这种向量为自由向量简称向量因此如果向量 a 和 b的大小相等且方向相同则说向量a 和 b 是相等的记为 a b相等的向量经过平移后可以完全重合向量的模向量的大小叫做向量的模向量 a、a 、AB的模分别记为|a|、|a 、|AB单位向量模等于 1的向量叫做单位向量零向量模等于 0 的向量叫做零向量记作 0 或 0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与 b 平行记作 a / b 零向量认为是与任何
5、向量都平行当两个平行向量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线类似还有共面的概念设有 k(k 3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果 k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面二、向量的线性运算1向量的加法向量的加法设有两个向量a 与 b平移向量使b 的起点与a 的终点重合此时从 a 的起点到b的终点的向量c 称为向量a 与 b的和记作 a+b 即 c a+b . 三角形法则平行四边形法则当向量 a 与 b 不平行时平移向量使a 与 b 的起点重合以 a、 b 为邻边作一平行四边形从公共起学习必备欢迎下载点到对角的向量等于向量a 与 b
6、的和 a b向量的加法的运算规律(1)交换律 a b b a(2)结合律 (a b) c a (b c)由于向量的加法符合交换律与结合律故 n 个向量 a1a2an(n3)相加可写成a1a2an并按向量相加的三角形法则可得n 个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一向量的起点相继作向量a1a2an再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向量这个向量即为所求的和负向量设 a 为一向量与 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量记为a2.向量的减法我们规定两个向量b 与 a 的差为b a b ( a)即把向量a 加到向量b 上便得 b与 a 的差 b a特别地当 b a 时有a
7、a a ( a) 0显然任给向量 AB 及点 O有AOOBOBOAAB因此若把向量a 与 b移到同一起点O则从 a 的终点 A 向 b的终点 B 所引向量AB 便是向量b与 a 的差 b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b| |a| |b|及|a b| |a| |b|其中等号在b 与 a 同向或反向时成立3向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量 a 与实数的乘积记作a规定a 是一个向量它的模 | a| | |a|它的方向当0 时与 a 相同当0 时与 a 相反当0 时 | a| 0即 a 为零向量这时它的方向可以是任意的特别地当1 时有1a a ( 1)aababababa
8、bacABCABCbaDc学习必备欢迎下载运算规律(1)结合律( a)( a) ()a；(2)分配律()aaa；(a b)ab例 1 在平行四边形ABCD 中设ABaADb试用 a 和 b表示向量MA 、 MB 、 MC 、 MD其中 M 是平行四边形对角线的交点解： 由于平行四边形的对角线互相平分所以a bAMAC2即(a b)MA2于是21MA(a b)因为MAMC所以21MC(a b)又因a bMDBD2所以21MD(b a)由于MDMB所以21MB(a b)向量的单位化设 a 0则向量|aa是与 a 同方向的单位向量记为 ea于是 a |a|ea向量的单位化设 a 0则向量|aa是与
9、a 同方向的单位向量记为 ea于是 a | a | ea定理 1 设向量 a0那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯一的实数使 ba证明条件的充分性是显然的下面证明条件的必要性设 b / a取|ab|当 b 与 a 同向时取正值当 b 与 a 反向时取负值即 ba这是因为此时b与a 同向且| a| | |a|b|aab|再证明数的唯一性设 ba又设 ba两式相减便得()a 0即|a| 0因|a| 0故 | 0即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴设点 O 及单位向量i 确定了数轴Ox对于轴上任一点 P 对应一个向量OP由 OP /i根据定理 1 必有唯一的实数x使 OPxi(实数
10、 x 叫做轴上有向线ABCDMab学习必备欢迎下载段OP 的值 )并知 OP 与实数 x 一一对应于是点 P向量 OP xi实数 x从而轴上的点P 与实数 x 有一一对应的关系据此定义实数x 为轴上点P 的坐标由此可知轴上点 P 的坐标为x 的充分必要条件是OP xi三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴 )、y 轴 (纵轴 )、 z 轴(竖轴 )统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为 Oxyz 坐标系注 : (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上而 z
11、 轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为 坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面另两个坐标面是yOz 面和 zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于 xOy 面的上方在 xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在 xOy 面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III 、IV、V、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式kjirzyxOM称为向量r 的坐标分解式
12、xi、yj、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量向量 r 与三个有序x、y、z 之间有一一对应的关系),(zyxzyxOMMkjir有序数 x、 y、z 称为向量r(在坐标系 Oxyz)中的 坐标记作 r (x y z)有序数 x、y、 z也称为点M(在坐标系 Oxyz)的坐标记为 M(x y z)向量OMr称为点M 关于原点 O 的向径上述定义表明一个点与该点的向径有相同的坐标记号(x y z)既表示点M又表示向量OM . 坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如点 M 在 yOz 面上则 x 0同相在zOx 面上的点y 0在 xOy 面上的点z 0如果点 M 在 x 轴上则 y
13、 z 0同样在 y轴上 ,有 z x 0在 z轴上的点有 x y 0如果点 M 为原点则 x y z 0. 四、利用坐标作向量的线性运算设 a (axayaz) b (bxbybz) 即a axi ayj azk b bxi byj bzk则a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk) 学习必备欢迎下载(axbx)i (ayby)j (azbz)k(axbxaybyazbz)a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk) (axbx)i (ayby)j (azbz)k(axbxaybyazbz)a(axi ayj azk) ( ax)i ( ay)j ( az
14、)k( axayaz)利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (axayaz) 0b (bxbybz)向量b/aba即b/a(bxbybz)(axayaz)于是zzyyxxababab例 2 求解以向量为未知元的线性方程组byxayx2335其中 a (2 1 2) b ( 1 12). 解 如同解二元一次线性方程组可得x 2a 3b y 3a 5b以 a、b 的坐标表示式代入即得x 2(2 1 2) 3( 1 12) (71 10)y 3(2 1 2) 5( 1 12) (112 16)例 3 已知两点 A(x1y1z1)和 B(x2y2z2)以及实数1在直线 AB 上求一点 M使MBAM解
15、由于OAOMAMOMOBMB因此)(OMOBOAOM从而)(11OBOAOM)1,1,1(212121xxxxxx这就是点M 的坐标当1点 M 的有向线段AB 的中点其坐标为221xxx221yyy221zzz学习必备欢迎下载五、向量的模、方向角、投影1向量的模与两点间的距离公式设向量 r (x y z)作rOM则OROQOPOMr按勾股定理可得222|OROQOPOMr设i xOPj yOQkzOR有|OP| |x| |OQ| |y| |OR| |z|于是得向量模的坐标表示式222|zyxr设有点 A(x1y1z1)、B(x2y2z2)则OAOBAB(x2y2z2) (x1y1z1) (x2
16、x1y2y1z2z1)于是点 A 与点 B 间的距离为212212212)()()(|zzyyxxABAB例 4 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解因为| M1M2|2 (7 4)2(1 3)2(2 1)2 14| M2M3|2 (5 7)2(2 1)2(3 2)2 6| M1M3|2 (5 4)2(2 3)2(3 1)2 6所以 |M2 M3| |M1M3|即M1 M2 M3为等腰三角形例 5 在 z 轴上求与两点A( 4 1 7)和 B(3 52)等距离的点解设所求的点为M(0 0 z)依题意有 |MA|2|MB|2即(0 4)2(0 1)2(z 7)2(3 0)2(5 0)2( 2 z)2解之得914z所以所求的点为)914, 0, 0(M例 6 已知两点 A(4 0 5)和 B(7 1 3)求与 AB 方向相同的单位向量e解 因为)2, 1,3()5,0, 4() 3, 1,7(AB14)2(13|222AB所以)2, 1,3(141|ABABe2方向角与方向余弦学习必备欢迎下载向量 a 与 b 的夹角当把
