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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思八年级数学四边形知识精讲【本讲教育信息 】一. 教学内容：【典型例题】例 1. 已知：如图，平行四边形ABCD 中， AE BD 于 E，BFAC 于 F，CNBD 于 N，DM AC 于 M。求证： EF/MN 。ABNMEFODC分析： 此题欲证EF/MN ，一时不知用什么方法，故须仔细分析条件，观察能否从中得到解题方法。经仔细推敲条件，不难发现：CONAOE，BOFDOM，从中得到OFOMONOE，进而发现四边形EFNM 是平行四边形，故MNEF /。证明： 在平行四边形ABCD 中，CNOAEOBDCNBDAEOBODOCOA90，在OAE和 CO
2、N 中OCOACONAOECNOAEO，ONOECONAOE同理可证OFOM四边形EFNM 是平行四边形EF/MN 注： 利用平行四边形对边平行且相等，证明两线平行或相等是常用的方法。例 2. 已知：如图，矩形ABCD 中， DEAC 于 E，CD=2 ，32AD，求 BE 的长。DCBAOFE分析： 此题欲证BE 的长， 由条件想到先计算图中能计算的线段，不难从中发现AC=4 ，进而发现 AC=2DC ，注意矩形对角线性质，连结BD 交 AC 于 O，则 ODC 是等边三角形，OE=EC=1，问题是利用什么方法去求，由垂直条件，想到能否利用勾股定理，为此作BFAC，则不难发现23EFBF，进
3、一步求出7BE。解： 连结 BD 交 AC 于 O，作 BFAC 于 F 在矩形 ABCD 中读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思BDODOBACOCOABDACDCABADC2121290，416412322222ACACADDCADACODOBOCOA，2OBODOCOA121OCOEOCDEDCOD同理121OAOF774333142222222BEBFEFBEBFOFOBBFOFOEEF注： 矩形的性质较多，应牢记这些性质，以便分析题目时应用，特别是矩形特有的性质的应用，本题中AC=BD ，进一步推出ODOBOCOA是矩形常用的性质。例 3. 已知：如图，菱形ABCD 中， E 是
4、BC 上的一点， AE、 BD 交于 M，若 AB=AE ，BAEEAD2。求证： AM=BE 。A B M D E C 分析： 此题目条件不难发现BAEABDABEAEBEAD22故BMAM，只须证BEBM，这由ABDBAEBMEAEBBAE2中可得。证明： 在菱形 ABCD 中读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思BAEBAEABDBMEBMAMABDBAEBAEEADABEAEBAEABAEBEADABDABEBCAD222/，BEAMBEBMAEBEADBME注： 此题还可以证BEAAMD，也可以用计算法计算出36ABDBAE，72BMEAEB。例 4. 已知：如图，梯形ABCD中，D
5、CDBACADACADCDAB，/，AC、BD 交于 E，EBADCMN求证： CE=CB 。分析： 此题由等腰直角三角形，想到常用辅助线，作AM DC，则DCAM21，由AB/DC ，想到把AM平移，作BN DC，则DBDCAMBN2121，这时看出30BDN，从而想到计算CBE 与 CEB 的度数。证明： 作 AM DC，BN DC 452121/ACDDCAMACADADCACDDCMCDMACADAMBNDCAB，3021BDNDBAMBNDCDB读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思CBCECBDCEBCBDDCBCBDACDBDNCEB75)30180(2175注： 此题证法中的辅
6、助线，是梯形中的常用辅助线之一。例 5. 已知：如图， AB/DC ，90CD，EF 分别是 AB 、DC 的中点。求证：)(21ABDCEFAEBDFC分析一： 如图（ 1） ，此题条件90CD，想到将二者集中到一个三角形之中，作BCENADEM/，则必有90MEC，且FNMF，从而得到MNEF21，进而再证ABDCMN。AEBDFCMN21（1）证明： 过 E 作 EM/AD ，作 EN/BC 902121CDCD，AEDMADEMDCABMEN/90，同理BECN)(2121CNDMDCMNEFFNMFFCDFCNDMEBAE)(21ABDCEF注： 在梯形 AEFD 中，作 EM/AD
7、 交 DF 于 M，也是梯形中常用的辅助线。分析二： 如图 2，由条件90CD，结合图形发现只须延长DA 、CB 交于 P，读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思则必有90DPC，从而得ABPEDCPF2121，结合求证可知，只须证P、E、F 共线。（2）证明二：延长DA、 CB 交于 P，连结 PF 交 AB 于 E190CD11/2190AEPEDPFDPABDCABDPFDDCDFPFFCDFDPC同理：11BEPE11BEAEAEBE1E与 E 重合)(2121ABDCPEPFEFABPE注：证明二中的辅助线也是梯形中常用辅助线。此题方法很多，其他解法同学们自己探究。小结： 四边形问题
8、的解决，同学们要注意性质、判定的灵活应用，并在解决问题的过程中，注意方法的总结，如：辅助线添加，证明线段及再相等方法，证明平行的方法。【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）1. 已知：如图 BCD 、ABE 和 ACF 都是等边三角形，求证：四边形EAFD 是平行四边形。读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2. 平行四边形ABCD 中， AEBC 于 E，CFAD 于 F，M、N 分别是 AB 、DC 的中点，求证： MN 与 EF 互相平分。3. 正方形 ABCD 中， E、H、F、G 分别是 AB、BC、CD 和 AD 上的点。若EFGH，求证： EF=GH。4. 矩形 ABCD 中，
9、AEBD 于 E，CF BD 于 F，若 BE=2，EF=4，求 CE 的长。5. ABC 中， BAC=90 ， AD BC 于 D， BE 平分 ABC 交 AD 于 M，交 AC 于 E，作 ENBC 于 N，求证：四边形AMNE 是菱形。6. 菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点。 若 ABC= EAF=60 ，BAE=15 ，求： CEF 的度数。7. 正方形 ABCD 中， AC、 BD 交于 O， E 是 OB 上一点，DFCE 交 OC 于 F。 求证： OE=OF。8. 梯形 ABCD 中， AB/DC ， AD=BC ， DB=DC ， AC BD 于 M
10、， 求证：)(21DCABCM。9. 梯形的高为12，两条对角线的长分别是5 和 20，求两底长之和。10. 正方形 ABCD 中， AC 、BD 交于 O，E 是 DC 上的一点， DF AE 交 BC 于 F，求证：OEOF。读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【试题答案】1. 提示： 证DCFBCABDE2. 提示： 连结 ME 、FN，延长 FN 交 BC 延长线于P，证 MENF 是平行四边形3. 提示： 作 EM DC 于 M，作 GNBC 于 N，证GNHEMF4. 72，提示： 连结 AC 交 BD 于 O，证2OFOE5. 提示： 证ENAEAMENAM，/6. 15，提示
11、：连结AC ，证ABEACF，再证 EAF 是等边三角形。7. 提示： 证DOFCOE。8. 提示： 作 BE/AC 交 DC 延长线于E，作 BFDE 于 F，证 DBE 是等腰直角三角形，进而得)(2121DCABDEBF，然后再证BF=CM 。9. 25 或 7，提示：此题满足条件的图形有两个。10. 提示： 先证DCFADE，再证COFDOE。八年级四边形单元测试班级姓名成绩一、选择题（每小题3 分，共 36 分）1已知，在等腰 ABC中，AB=AC ，分别延长 BA ，CA到 D，E点，使 DA=AB ，EA=CA ，则四边形 BCDE 是（）A任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正
12、方形2. 平行四边形一条对角线与一边垂直且此对角线为另一边的一半, 则此平行四边形两邻角之比为 ( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论不一定正确的是（）AAC=BDBOBC=OCB CSAOB=SDOCDBCD=BDC 4. 如图 12-44, 在? ABCD 中,AD=2DC,M,N 分别在 AB两边的延长线上 , 且有 MA=AB=BN,则 MC 与 DN的关系是 ( ). A.相等 B.垂直 C. 垂直相等 D. 不能确定5. 下列说法错误的是 ( ). A.四个角相等的四边形是矩形
13、. B.四条边相等的四边形是正方形. C.对角线相等的菱形是正方形. D. 对角线垂直的矩形是正方形. 6. 如图，矩形 ABCD 长为 a，宽为 b，若 s1=s2= (s3+s4)， 则 s4等于 （）（ A ）（B）（C）（D）ABCDEFS1S2S4S321ab83ab43ab32ab21读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思7. 如右图，四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE=（）A2 B3 C22D2 38. 如图 12-45, 正方形 ABCD 的对角线 BD上一点 M,BM=BC,CM的延长线交 A
14、D于 P,AM延长线交 CD于 Q,则CMQ= ( ). A.25 B.45C.67.5 D.30.59. 如图 12-46, 在ABC中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB边的中点 ,AHBC于 H,FD=8厘米, 则 HE= ( ) A.20 B.16 C.12. D.8 10. 已知直角梯形ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时， APD 中边AP 上的高为（）A、17172B、17174C、17178D、3 11. 如图 12-48, 在?ABCD 中,AB=8,AD=6,DAB=30 , 点 E,F 在 AC
15、上, 且 AE=EF=FC,则BEF的面积为 ( ). A.8 B.4 C.6 D.12 12. 直角梯形的斜腰和下底长都等于a, 斜腰和下底的夹角是60, 则梯形的中位线长为 ( ). A.a B.32a C.34a D22a二、填空 （每小题 4 分，共 40 分）13如图 12-49，在矩形 ABCD 中，E是 CD边上的一点， AE=AB，AB=2AD ，则 EBC 为 。14在梯形 ABCD 中，AB CD ，AC平分 BAD ，AC BC ，BC=2 ，AB=4 ，则梯形 ABCD 的周长为。15若一个平行四边形的一条边长为9 厘米，一条对角线长为 6 厘米，则它的另一条对角线 L
16、 的取值范围是. 16. 如图 12-50, 在?ABCD 中, A的平分线交 BC于点 E,若 AB=10厘米,AD=14厘米,则 BE=_,EC=_. 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思17. 如图 12-51, 在?ABCD 中,E,F 分别为 AB,DC的中点 , 连结 DE并延长 , 交 CB的延长线于点 G,连结 BF并延长 , 交 AD的延长线于点 H,则图中共有_个平行四边形. 18. 如图 12-52, 在?ABCD 中,AEBC于 E,AFCD于 F,BE=3厘米,AB=6厘米,DF=5厘米, 则?ABCD 的周长为_厘米. 19. 如图 12-55, 在?ABCD 中,E 为 AB的中点 , DEC=90 ,AD=12厘米, 则 AB=_厘米. 20. 如图， 梯形 ABCD中，ABDC，90ADCBCD，且2DCAB ， 分别以 DAABBC，为边向梯形外作正方形，其面积分别为123SSS，则123SSS，之间的关系是三，解答题（44分）21. 在四边形 ABCD 中，AB=CD ，P、Q 分别是 AD 、BC中点， M 、N分别是对角线AC 、BD的中点，
