第七讲旋转体的计算

《第七讲旋转体的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七讲旋转体的计算（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、名师整理优秀资源第七讲 旋转体的计算分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴， 其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图） 旋转轴叫做它们的轴， 在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面， 这条边无论旋转到什么位置， 都叫做旋转体的母线圆柱的侧面展开后是个矩形， 它的宽是圆柱的母线， 长是圆柱底面的周长由此可得2Sr l圆柱侧其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图） 。圆锥的侧面展开图是一个扇形， 如上右图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆

2、锥底面的周长，于是可得名师整理优秀资源12SClrl圆锥侧其中l是圆锥侧面的母线， C 是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径。圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形 这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得1()()2SCClrrl下下圆台侧上上其中l是圆台侧面母线长，C上、C下分别是圆台上底和下底周长，r上、r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图） 圆柱的体积等于它的底面积S与高 h 的乘积，即2VShrh圆柱，其中r为圆柱底面的半径圆锥的体积等于它的底面积S与高 h 的积的三分之一，即2

3、1133VShr h圆锥，其中r为圆锥底面半径。圆台的体积是：221()3Vh rrrr下下圆台上上其中，r上、r下分别是上底和下底的半径例 1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的 1.5倍，乙桶比甲桶高25 厘米，求甲、乙两桶的高度。名师整理优秀资源分析与解答如下图由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为 1.5r；甲桶高度为 h，则乙桶高度为h25，则（1.5r）2hr2（h25） ，2.25r2hr2（h25） ，2.25hh25，h20（厘米） ，h2545（厘米）答：甲桶高度为 20 厘米，乙桶高度为45 厘米例 2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为

4、圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分） 解：如下图扇形弧长 =14222=11 厘米，因此所作的圆锥筒底的周长=2r=11，解得r=5.5 厘米。因为母线长是 22 厘米，所以圆锥的高名师整理优秀资源h22225.521.3厘米215.521.33V圆锥674（立方厘米）答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米例 3 在仓库一角有一堆谷， 呈14圆锥形（如下图），量得底面弧长为 2 米，圆锥的高为 1 米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重 720 公斤，结果取整数部分）？解：因为底面弧长为2 米，所以142r=2 求得r=4（米

5、） ，因此，谷堆的体积为：211441()1433V（立方米）谷子的重量为 720413306（公斤）答：这堆谷子重约306 公斤。例 4 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5 厘米，高是 10厘米。容器内放着一些石子，石子的体积为1963立方厘米。在容器内倒满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度。解：如上图，设石子取出后，容器内水面高度为x厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积，根据体积公式有：名师整理优秀资源135210=13（2x）2x1963x=6 答：石子取出后，容器内水面的高为6 厘米例 5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为 0.7

6、 米，底面圆周长为6.28米；圆台的高为 1.5 米，下底面周长为 4.71 米。如果每立方米草约重150 公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）分析与解答圆锥的底面半径：r=6.282=1（米）圆锥的体积：2211710.70.733330Vr圆锥（立方米）圆台的下底半径：4 . 7 1324r下（米）圆台上底半径：1rr上（米）圆台高：h=32米则221()3Vh rrr r下下圆台上上=2213331()13244名师整理优秀资源=37323.63（立方米）草垛体积为：VV圆锥圆台=0.733.63=4.36 （立方米），故草垛的重量为： 1504.36654（公斤） 答：草垛约重 65

7、4 公斤例 6 如下右图，在长为 35 厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为 20 厘米，求这个管子的体积分析如上左图， AB 是截面圆环的最长直线段，O 是截面圆环的圆心过 O 作 AB 的垂线，垂足是C，以 O 为圆心，以 OC 为半径作圆，即管截面的内圆周 连结 AO，根据勾股定理有： AO2AC2CO2，AO2OC2AC2，同理 AO2OC2BC2，S圆环AO2OC2 （AO2OC2）=2AC=（2AB）2 解：先求出管子横截面的圆环面积为：（202）2=100 （平方厘米）则管子的体积为：22rhrh外径内径=圆环面积h=100 35 名师整理优秀资源 =3500（立方厘米）答：

8、这个管子的体积为3500 立方厘米例 7 一个长方形的长为16 厘米，宽为 12 厘米以它的一条对角线为轴旋转此长方体， 得到一个旋转体 求这个旋转体的体积（结果中保留，即不用近似值代替）分析与解答如下图，记这个长方形为ABCD ，对角线 AC 的中点为 O过 O 作 EF垂直于 AC，分别交BC、 AD 于 E、 F由对称性知道：EOOF设 P 为 AO 上的任一点，过P 作 AO 的垂线，分别交折线ABE和线段 AF 于 M 和 N，那么MPPN因此，四边形ABEF 绕 AC 旋转得到的立体即为四边形ABEO绕 AC 旋转得到的立体同样，四边形CDFE 绕 AC 旋转得到的立体即为四边形

9、CDFO 绕 AC 旋转得到的立体 并且，由于对称性， 四边形 ABEO 与 CDFO 是完全一样的，因此由它们绕AC 旋转得到的立体也是完全一样的这样，这两个立体的体积相等所以，长方形名师整理优秀资源ABCD 绕 AC 旋转得到的立体的体积等于四边形ABEO 绕 AC 旋转得到的立体的体积的两倍记由长方体 ABCD 绕 AC 旋转得到的立体为W， 由四边形 ABEO绕 AC 旋转得到的立体为U， 由ABB （B在 AO 上， BB垂直于 AO） 、四边形 BEOB绕 AC 旋转得到的立体分别记为U1、U2显然， U1与U2有一条公共的边界（由BB旋转而成的圆），且 U1与 U2合成 U因此

10、VW2VU2（VU1VU2） 由 AB12 厘米，BC16 厘米及勾股弦定理得：AC=20 厘米，所以 AO=CO=12AC=10厘米再由1122ABCSAB BCAC BB得：BB9.6 厘米在直角三角形 ABB中再用勾股弦定理，得AB7.2 厘米，所以 BOAOAB2.8 厘米U1是一个圆锥，底面半径BB9.6 厘米，高 AB7.2 厘米，所以：1219.67.23UV（立方厘米）U2是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以BB为底面半径， CB为高，小圆锥以EO 为底面半径， CO 为高，容易知道CBCOOB12.8厘米，由 EO：OCAB：BC 可以求出 EO7.5厘米因此2221

11、1(9.612.87.510)33UV（立方厘米）名师整理优秀资源所以WV=22221119.67.29.612.87.510333853.8 （立方厘米）答：所求的旋转体体积为853.8立方厘米。名师整理优秀资源习题七一、填空题：1一个圆柱体的侧面积是m 平方厘米，底面半径是2 厘米，它的体积是 _立方厘米2一个圆锥的母线长为8 厘米，底面直径为 12 厘米，那么这个圆锥的侧面积等于 _平方厘米3圆台的上、下底面半径分别为2 厘米和 5 厘米，母线长为4厘米，那么这个圆台的表面积等于_4用半径为 2 厘米的半圆形铁皮卷成的圆锥形容器，则它的底面半径为 _厘米，容积是 _立方厘米5一个圆锥的高

12、是 10厘米，侧面展开图是半圆，那么圆锥的侧面积等于 _二、选择题：1一个圆柱体高 80 厘米，侧面积为 1.5平方米，它的全面积是_（精确到 0.01平方米） （A）1.78平方米 （B）2.06平方米（C）3.74 平方米 （D）5.25平方米2圆锥的侧面积为427.2平方厘米，母线长为17 厘米，那么圆锥的高是 _（精确到 0.01 厘米） （A） 5.75厘米（B）15 厘米（C） 16.52 厘米 （D）5.25厘米3圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这名师整理优秀资源个圆柱的侧面积是 _（A）4S（B）2S （C）S （D）2 33S4母线和底面直径相等的圆锥叫做等

13、边圆锥，一个等边圆锥的底面半径是 5 厘米，那么它的侧面积是 _（A） 25 平方厘米（B） 50平方厘米（C） 100平方厘米（D） 250平方厘米5把一个底面半径是1 厘米的圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体的体积是立方厘米（取r3.14） （A） 1 （B） 3.14 （C） 3.143.14 （D） 3.146.28 6长、宽分别为 6 寸、4 寸的长方形铁片，把它围成一个圆桶，另加一个底，形成圆柱形的杯子，这个杯子的最大容积是_（A）24（B）36（C）46（D）144三、解答题：1一个底面直径是 20 厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是 9 厘米、高 20 厘

14、米的铁质圆锥体，当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？2在一只底面半径为20 厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中 当钢材从桶里取出后， 桶里的水下降了3 厘米求这段钢材的长3有 A、B 两个容器，如下页图，先将A 容器注满水，然后倒名师整理优秀资源入 B 容器，求 B 容器的水深。（单位：厘米）4从一个底面半径为3 厘米，高为 4 厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底， 下底面中心为顶点的圆锥， 得到一个如下图的几何体求这个几何体的表面积和体积5圆锥形烟囱帽的底的半径是40 厘米，高是 30 厘米，计算它的侧面面积。若烟囱表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150

15、 克，问需油漆多少克？6一个圆台的母线长为25 厘米，而两个底面半径之比为1：3，已知圆台的侧面积等于1000 平方厘米，求这个圆台的全面积7把一条导线以螺旋状绕在圆柱管上，绕成十圈，圆柱管的外圆周长 4 厘米，导线的两端点位于圆柱的同一条母线上，每线长（两端点之间的距离）为9 厘米试求导线的长度8 在长为 1 米的圆筒形管子的横截面上， 最长直线段为 12 厘米，求此管子的体积9如下页图，长方形纸片 ABCD 中，AB3 厘米，BC4 厘米。如果以 BC 为底边，折成一个底面为正方形的长方体，加盖名师整理优秀资源后其体积为V1；如果以 AB 为底边，同样折成一个长方体，其体积为 V22，求 V1V2；如果以BC 为底边，把纸卷成一个圆柱，其体积为V3；如果以 AB 为底边，把纸片卷成一个圆柱，其体积为V4，求 V3V4（取3.14） 这四个不同形状的形体，加盖后其表面积之比又分别是多少（即求 S1S2和 S3S4）？10一个几何体如下图，求它的表面积。