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1、名师精编优秀教案1.6 三角函数模型的简单应用(一) 教学目的： 1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型. 2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力. 3. 通过函数拟合得到具体的函数模型, 提高数学建模能力. 并在探究中激发学生的学习兴趣 , 培养锲而不舍的钻研精神, 培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.教学重点与难点：教学重点 :分析、整理、利
2、用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点 : 将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.教学手段与方法：探究式教学法教学过程：导入新课思路： 我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质 ,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中 ,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修 1 第三章第二节“ 函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用. 新知探究提出问题回忆从前所学,指数函
3、数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的 ? 数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? 名师精编优秀教案上述的数学模型是怎样建立的? 怎样处理搜集到的数据? 讨论结果 :描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括 ,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 解决问题的一般程序是: 1 审题 :逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2 建模 :分析题目变化趋势,选择适当
4、函数模型；3 求解 :对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4 还原 :把数学结论还原为实际问题的解答. 画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 应用示例例 1 如图 1, 某地一天从614 时的温度变化曲线近似满足函数y=sin( x+)+b.图 1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动 :这道例题是2002 年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论. 解:(1)由图可知 ,这段时间的最大温差是20 . (2)从图中可以看出,从 6 14 时的图象是函数y=Asin( x+ )+b的半个周期的图象, 名师精编优秀教案A=21(30-10)
5、=10,b=21(30+10)=20. 212=14-6, =8?.将 x=6,y=10 代入上式 ,解得 =43. 综上 ,所求解析式为y=10sin(8?x+43)+20,x6,14. 点评 :本例中所给出的一段图象实际上只取614 即可 ,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键 .本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.例 2 （2007 全国高考）函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(4,4) B.(4,43) C.( ,23) D.(23,2 )答案 :C 例 3 如图 2,设地球表面某地正午太
6、阳高度角为, 为此时太阳直射纬度, 为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是=90-| -|. 当地夏半年 取正值 ,冬半年 取负值 . 如果在北京地区(纬度数约为北纬40 )的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少? 分析：名师精编优秀教案首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为, 正午太阳高度角为,此时太阳直射纬度为, 那么这三个量之间的关系是=90-| -|. 当地夏半年 取正值 ,冬半年取负值 . 根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图 3,由画图易知太阳高度角 、楼高 h0与
7、此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系: h0=htan .由地理知识知,在北京地区 ,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长 .因此 ,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况 . 图 3 解:如图 3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度2326.依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义, 有 C90 |40 ( 23 26 )|26 34,所以 MCChtan0=3426tan0h 2.0
8、00h0, 即在盖楼时 ,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距. 点评 :本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2 来建立函数名师精编优秀教案模型 ,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型 ,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中 ,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究. 变式训练某市的纬度是北纬23 ,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层 3 米,楼与楼之间相距 15
9、 米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图 4 解:如图 4,由例 3 知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan 90 -(23 +23 26)=15tan43 34 14.26,由于每层楼高为3 米,根据以上数据, 所以他应选3 层以上 . 知能训练课本本节练习1、 2. 解答 : 1.乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处 . 点评 :因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过21周期 ,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变 ,横坐标不变,所以经过21周期 ,乙点位置将移至它关于x 轴的对称点处 ,即横坐标不变,纵
10、坐标与图中的丁点相同. 名师精编优秀教案2.如 CCTV 1 新闻联播节目播出的周期是1 天. 点评 :了解实际生活中发生的周期变化现象. 课堂小结1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象 ,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此 ,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题. 作业.图 5 表示的是电流I 与时间 t 的函数关系图 5 I=Asi
11、n( x+ )( 0,| |0,0 )为偶函数 ,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24. (1)求函数 f(x) 的解析式；(2)若 sinx+f(x) 32,求 sinxcosx 的值 . 解:(1)f(x)为偶函数 , f(x)f(x), 即 sin(x+)sin( x+). 2. f(x) sin( x+2)cos x.相邻两点P(x0,1),Q(x0+,1). 由题意 ,|PQ|4)(2=2+4.解得 1. f(x) cosx. 名师精编优秀教案(2)由 sinx+f(x) 32,得 sinx+cosx32. 两边平方 ,得 sinxcosx185. 2.小明在直角坐标系
12、中,用 1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用 2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变 ,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变 ,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x R,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来 1 cm代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2 倍,所以原来的1 cm 只能代表21个单位长度了 .由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y21sinx,xR.同理 ,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则
13、横坐标被压缩到原来的21,原曲线 周 期 就 由2 变 为. 故 改 变 横 坐 标 后 , 原 曲 线 图 象 的 解 析 式 变 为ysin2x,x R. 3.求方程 lgxsinx 实根的个数 . 解:由方程式模型构建图象模型. 在同一坐标系内作出函数ylgx 和 ysinx 的图象 ,如图 .可知原方程的解的个数为3. 名师精编优秀教案点评 :单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了 ,教师要让学生熟练掌握这一方法. 知能训练课本本节练习3 3.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它
14、们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼 ,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习. 点评 :通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性. 课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用. 2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是 :审读题意 设角建立三角式 进行三角变换解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题 . 作业如图 ,一滑雪运动员自h=50 m 高处 A 点滑至 O 点,由于运动员的技巧(不计阻力 ),在 O 点保持速率 v0不变 ,并以倾角起跳 ,落至 B 点 ,令 OB=L, 试问 ,当 =30时,L 的最大值为多少?当 L名师精编优秀教案取最大值时 , 为多大 ?
